¿Qué es un "mapa" en el teorema de cuatro colores?

Question

El teorema de los cuatro colores declara que cualquier mapa en el plano (y, más en general, de las esferas y así sucesivamente) puede ser coloreado con cuatro colores de modo que no hay dos regiones adyacentes tienen los mismos colores.

Sin embargo, no está claro lo que constituye un mapa, o una región en un mapa. Esto es realmente un teorema de la teoría de grafos, algo acerca de cada plano gráfico con algunas propiedades de admitir una cierta coloración?

O ¿realmente es demostrar que el uso de regiones en el plano (que supongo que hemos de tomar para no fractal límites, o algo). ¿Cuál es la definición precisa?

Answer 1

El teorema es una declaración acerca de gráficos planares. En la aplicación a la geografía, tiene una colección finita de "países" (desunidos conectados subconjuntos abiertos del plano, digamos, límites por trozos liso). Ambos países se consideran adyacentes si la intersección de sus fronteras tiene longitud distinto de cero. Entonces considera el gráfico con los vértices correspondientes a los países y entre países limítrofes.

Answer 2

Aquí es una declaración formal. Que $G=(V,E)$ ser un finito gráfico planar con vértices $V$y bordes $E$. Es posible encontrar una colección $P={S_1,S_2,S_3,S_4}$ de dijoint los subconjuntos de $V$ tal que $V=S_1\cup S_2\cup S_3\cup S_4$ y cada $a,b\in S_i$, sin borde en Unión de $E$ $a$y $b$.

El mapa es el gráfico, y las regiones son los vértices.