Describir el lugar de los puntos $z$ que satisfagan $|z+2|+|z-2|=5$

Question

Para este problema, como dice la pregunta, debo describir el lugar de los puntos $z$ que satisfacen la ecuación:

$$|z+2|+|z-2|=5$$

Normalmente estos problemas no son demasiado difíciles con un poco de álgebra, pero este me está confundiendo demasiado (se está haciendo demasiado complicado).

Cuando reescribo la ecuación en términos de $z$ 's $x$ y $y$ componentes, me sale:

$$\sqrt{(x+2)^2 + y^2} + \sqrt{(x-2)^2 + y^2} = 5$$

A partir de aquí, si decido elevar al cuadrado toda la ecuación, obtendré un término desagradable en un radical que es demasiado para mí. Si multiplico toda la ecuación por el conjugado (no el complejo conjugado) del lado izquierdo, llego a casi el mismo problema en el lado derecho.

Por favor, orientadme un poco. ¿Se puede evitar el álgebra?

Answer 1

Intentemos un poco de álgebra desordenada. Llegaste a:

$$ \sqrt{(x+2)^{2}+y^{2}} = 5-\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}} $$

Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos:

$$ (x+2)^{2}+y^{2}=25-10\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}} + (x-2)^{2}+y^{2} \to 8x=25-10\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}} $$

Movemos el $25$ al LHS y cuadrarlo de nuevo:

$$ (8x-25)^{2}=100((x-2)^{2}+y^{2}) \to \\ 64x^{2}-400x+625=100x^{2}-400x+400+100y^{2} \to \\ 100y^{2}=-36x^{2}+225 $$

Entonces, tenemos como posible para $y$ :

$$ y=\pm\frac{\sqrt{-36x^{2}+225}}{10} $$

Observamos que la expresión dentro de la raíz cuadrada es $\geq 0$ sólo para $\frac{-5}{2}\leq x\leq \frac{5}{2}$ . Por lo tanto, los puntos que satisfacen la condición vienen dados por

$$ \{(x,y)\in \mathbb{R^{2}} | \frac{-5}{2}\leq x\leq \frac{5}{2}, y=\pm\frac{\sqrt{-36x^{2}+225}}{10} \} $$

Los signos positivos y negativos de $y$ te dan las ramas superior e inferior de la elipse. Aquí es un enlace para una parcela de la rama superior. Otra forma (y más bonita) de ver esto es tomando la ecuación que implica los cuadrados de $x$ y $y$ y ponerlo en este formulario:

$$ 36x^2 + 100y^2 = 225 $$

A continuación, se puede tener en cuenta esto en

$$ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, $$

donde $a=5/2$ y $b=3/2$ que te da información geométrica sobre la elipse mucho más rápido.

Answer 2

$$|z+2|+|z-2|=5$$ Se trata de una elipse en el plano complejo.
Si quiere verlo con más detalle, elija $C=0,$ $$F_1=-2, F_2=2$$ y $$a=\frac{5}{2}.$$

Answer 3

Pensando conceptualmente, dice que la distancia de z a -2 más la distancia de 2 es 5, una constante . Esto forma una elipse. Una elipse se forma tomando dos puntos fijos (focos) y tomando el conjunto cuya suma a estos dos puntos es una constante.

Entonces es una elipse con focos en 2, -2.

Hay un montón de formas que puedes hacer haciendo sutiles cambios en esta ecuación.

Si pruebas con |z+2|-|z-2|=5, obtendrás una hipérbola con los mismos focos.

Puedes hacer |z+2||z-2|=b para que b no sea negativo te daría Ovales de Cassini.

|z+2|=b para b no negativo es un círculo centrado en -2 de radio b.

Edit: Para los óvalos de Cassini, es el producto, no la relación de las distancias a dos puntos fijos (he hecho el cambio en el post). Además, he especificado qué era b y he añadido un detalle para el ejemplo del círculo |z+2|=b.