En Grupo de orden $30$ y $60$ .

Question

En esta pregunta en yahoo respuestas , la respuesta dice ,

"con $t = 6$ entonces hay 6 * (5 - 1) = 24 elementos de orden $5$ "

mi pregunta es, ¿de dónde viene "6 * ( 5 - 1 )"?

¿Qué teorema se utiliza aquí?

La misma pregunta para " con $s = 10$ hay al menos 10 * (3-1) = 20 elementos de orden $3$ "

---

Otra pregunta:

En dummit y foote , 3ª ed, en la página $145$

en el puntal $21$ lo que demuestra que si $G$ es un grupo de orden 60 y $G$ tiene más de un subgrupo 5 bajo, entonces G es simple

La prueba dice ,

Supongamos lo contrario,

dejar $H$ sea un subgrupo normal propio de $G$ si $5$ divide $ |H| $ entonces $H$ contiene un subgrupo 5 bajo de $G$ y como $H$ es normal, entonces contiene todos los conjugados de este subgrupo 5 bajo, por lo que, en particular $ |H|$ es mayor o igual que $ ( 1+(6 . 4) ) = 25$

Mi pregunta es, ¿cómo se hizo el cálculo " $ |H|$ es mayor o igual que $ ( 1+(6 . 4) ) = 25$ ¿"Viene de"?

Answer 1

Dos grupos distintos del orden $5$ debe tener una intersección trivial. Si hubiera un elemento no identitario $x$ contenida en ambos, entonces $x$ tendría necesariamente el orden $5$ y así generar cada grupo, por lo que de hecho serían los mismos.

Así que si hay $6$ Sylow $5$ -subgrupos, cada elemento no identitario tiene orden $5$ . Hay $4$ elementos no identitarios en cada uno, y como cada uno tiene una intersección trivial, no hay peligro de sobrecontar. Por tanto, debe haber al menos $6\cdot 4=24$ elementos de orden $5$ .

Para la pregunta sobre Dummit y Foote, $H$ debe contener todos los $6$ conjugados de la Sylow $5$ -subgrupo. De nuevo, los conjugados tienen intersección trivial, y cada uno tiene $4$ elementos que no se encuentran en los otros por el mismo razonamiento anterior. Incluyendo el elemento de identidad, $H$ debe tener al menos $25$ elementos distintos, por lo que $|H|\geq 25$ .