Recuento de potencia con corte

Question

En las videoconferencias de la Teoría del Campo Efectivo encontradas aquí El profesor explicó el recuento de potencia en las teorías de campo efectivo y las dificultades del recuento de potencia asociadas a los diagramas de bucle. A continuación, menciona que la introducción de un corte ( $\Lambda_{UV}$ ) para regular nuestras divergencias no preserva el recuento de potencia debido a la nueva escala que estamos introduciendo. Para ver esto utiliza la teoría de cuatro fermios con el diagrama,

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Hacemos nuestro recuento de potencias (es decir, las expansiones de Taylor) en potencias de $m^2/M^2$ y luego pasar a considerar la corrección de la masa a través,

$\hspace{6cm}$

Utilizando un corte, se obtiene una corrección de la masa, \begin{align} a\frac{ m }{ M ^2 } \int _0^{\Lambda_{UV}}\frac{ \,d^4k _E }{ (2\pi)^4} \frac{1}{ k _E ^2 + m ^2 } & = a\frac{ m }{ ( 4 \pi ) ^2 } \left[ \frac{ \Lambda _{ UV } ^2 }{ M ^2 } + \frac{ m ^2 }{ M ^2 } \log \frac{ m ^2 }{ \Lambda _{ UV } ^2 } - \frac{ m ^4 }{ M ^2 \Lambda _{ UV } ^2 } + ... \right] \end{align}

Si he entendido bien esto rompe el recuento de la potencia porque aunque $\Lambda_{UV} \sim M$ el primer término es una corrección de orden 1 ya que no es proporcional a $m^2/M^2$ . Hasta aquí todo bien. Sin embargo, luego el profesor dice que todavía se puede utilizar el recuento de potencia con un corte si se fija el orden de recuento de potencia por orden y que esto se puede hacer mediante la introducción de una escala intermedia, $\Lambda$ . Pero no sé cómo esto arregla nada...

Con una escala intermedia ( $\Lambda$ ) tenemos, \begin{equation} a\frac{m}{M^2}\int _{ \Lambda } ^{ \Lambda _{ UV }} \frac{ \,d^4k _E }{ (2\pi)^4 } \frac{1}{ k _E ^2 + m ^2 } = \frac{a\,m}{ (4\pi)^2M^2 } \left\{ \left(\Lambda ^2 + m ^2 \log \frac{ m ^2 }{ \Lambda ^2 + m ^2 } + ... \right) + \left( \Lambda _{ UV } ^2 - \Lambda + m ^2 \log \frac{ \Lambda ^2 + m ^2 }{ \Lambda ^2 _{ UV }} \right) \right\} \end{equation} ¿pero cómo arregla esto algo?

Para más contexto, consulte mis notas de clase aquí bajo la Teoría del Campo Efectivo (comienza alrededor de la ecuación 4.6)

Answer 1

Antes de introducir cualquier escala adicional, suponiendo que la única escala relevante viene dada por $m^2$ El recuento de la potencia nos da la siguiente relación para la integral en cuestión:

$$\Delta m\sim\frac{am}{M^2}\int \frac{d^4k_E}{k_E^2+m^2}\sim \frac{am^3}{M^2},$$

que es una pequeña corrección de masa.

A continuación, veremos qué ocurre cuando introducimos un regulador en forma de corte UV. En este caso, la integral evaluada contiene un término de la forma

$$am\frac{\Lambda_{UV}^2}{M^2},$$

que no es una corrección pequeña como en el caso sin el regulador. Por lo tanto, el recuento de potencia falla en cuanto introducimos un corte UV.

Introducción de una escala adicional $\Lambda$ , que suponemos pequeña, resuelve este problema. Dentro del procedimiento de renormalización podemos absorber el $\Lambda_{UV}$ -en contratextos $\delta m(\Lambda,\Lambda_{UV})$ mientras que todavía quedan algunos otros términos, es decir, algo proporcional a

$$am\frac{\Lambda^2}{M^2},$$

lo que supone de nuevo una pequeña corrección. Por lo tanto, hemos "restaurado" la validez del recuento de la potencia.