Diferencia mínima entre $2^n$y $3^m$ vs $N$ donde $N=n+m$

Question

Me gustaría saber mínima diferencia $D$ como una función de la $N$ donde:

$D=|2^n-3^m|$

$N=n+m$

Sólo experimentalmente, se parece a $\ln D$ es lineal con $N$, aproximadamente:

$\ln{D}\approx0.425N$

Para un determinado $N$, el mínimo de $D$ se produce en $n=\lfloor{N\over{1+{\log2\over{\log3}}}}\rfloor+1$ si $2^n-3^m$ es positiva y $n=\lfloor{N\over{1+{\log2\over{\log3}}}}\rfloor$ si $2^n-3^m$ es negativo.

Un detalle:

Los puntos rojos donde el mínimo de $2^n-3^m$ es negativo, azul positivo.

Así que hay una ligera cantidad de "ruido" alrededor de esa línea, así que tal vez una expresión exacta, es raro, pero hay una manera más formal para obtener esa?

Answer 1

Desde $2^a = 3^b \iff a\ln 2 = b\ln 3$, bajo la restricción de que $\nu + \mu = N$ tenemos $2^{\nu} = 3^{\mu}$$\nu = \frac{\ln 3}{\ln 6}N$$\mu = \frac{\ln 2}{\ln 6}N$. La menor distancia $\lvert 2^n - 3^m\rvert$ $m,n$ enteros con $n + m = N$ por lo tanto se produce cuando $n = \lfloor \nu\rfloor$ o $n = \lceil \nu\rceil$. Escrito $\delta = n - \nu$, por lo tanto tenemos a $-1 < \delta < 1$ y

$$D = \lvert 2^n - 3^m\rvert = \lvert 2^{\nu + \delta} - 3^{\mu - \delta}\rvert = \exp \biggl( \frac{(\ln 2)(\ln 3)}{\ln 6}N\biggr)\cdot \lvert 2^{\delta} - 3^{-\delta}\rvert.$$

Así

$$\ln D = \frac{(\ln 2)(\ln 3)}{\ln 6}N + \ln \lvert 2^{\delta} - 3^{-\delta}\rvert.$$

Desde $C := \frac{(\ln 2)(\ln 3)}{\ln 6} \approx 0.4250012479336228$, el primer término corresponde a la línea recta, y que los valores exactos que están cerca de esa línea es equivalente a $\delta$ no están demasiado cerca de las $0$. La desigualdad de $\lvert \delta\rvert < 1$ implica $\lvert 2^{\delta} - 3^{-\delta}\rvert < 3^1 - 2^{-1} = \frac{5}{2}$, lo $\ln D$ nunca puede estar muy por encima de esa línea. Pero $\delta$ a veces puede estar muy cerca de $0$. Si $N$ es el denominador de una convergente de $\frac{\ln 3}{\ln 6}$, luego

$$\biggl\lvert \frac{\ln 3}{\ln 6} - \frac{K}{N}\biggr\rvert < \frac{1}{N^2},$$

por lo $\lvert \nu - K\rvert < \frac{1}{N}$, por lo tanto $\lvert\delta\rvert < \frac{1}{N}$, y, a continuación,

$$2^{\delta} - 3^{-\delta} = \exp(\delta\ln 2) - \exp (-\delta\ln 3) = \delta\ln 6 + O(\delta^2),$$

de dónde $\ln D \approx C\cdot N + \ln \delta < C\cdot N - \ln N$ en ese caso.

Por supuesto, una diferencia de $\approx \ln N$ es todavía pequeña en relación a $C\cdot N$. Sin embargo, dependiendo de la irracionalidad medida de $\frac{\ln 3}{\ln 6}$, pueden ser convergents donde $\frac{K}{N}$ está mucho más cerca de lo $\frac{1}{N^2}$. Si la irracionalidad medida es finito y que es abrumadoramente probable, entonces la distancia es acotado abajo por una potencia de $N$, y luego tenemos a $\lvert CN - \ln D\rvert \in O(\ln N)$. Pero si la irracionalidad medida es infinito, $\lvert CN - \ln D\rvert$ puede ser de orden mayor que $\ln N$.