¿Por qué debería expandirse una función holomórfica en la serie Laurent en lugar de la serie Taylor?

Question

En 2d gratuito de la teoría conforme de campos, hay un operador ecuación: $$ \partial\bar\parcial\hat{X}^\mu\left(z,\barra z\right)=0 $$

¿Por qué puede tener Laurent expansión como este de abajo en lugar de Taylor

$$ \partial X^\mu\left(z\right)=-i\left(\frac{\alpha'}{2}\right)^{1/2}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\frac{\alpha_m^\mu}{z^{m+1}}, \\ \bar\partial X^\mu\left(\bar z\right)=-i\left(\frac{\alpha'}{2}\right)^{1/2}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\frac{\tilde{\alpha}_m^\mu}{\barra z^{m+1}}. $$

Answer 1

I) La cadena (target espacio) coordenadas $X^{\mu}(\tau_E,\sigma)$ dependen de un mundial (hoja) coordenada espacial $\sigma$ y un mundial (hoja) temporal coordinar $\tau_E$ (que aquí tiene Mecha-girado a la Euclidiana momento, de ahí el subíndice $E$).

II) de forma Similar a los cuantiza un campo en QFT, en la teoría de cuerdas, la serie de Fourier de expansión de la cadena de coordenadas $X^{\mu}$ se compone de creación y aniquilación de las piezas.

III) El (mundo de la hoja) coordina $(\tau_E,\sigma)$ pueden ser organizados en un complejo de coordenadas

$$z=e^{\tau_E+i\sigma}.$$

De igual contornos de tiempo se corresponde con círculos concéntricos en el complejo de $z$-plano. El origen $z=0$ corresponde al pasado infinito, mientras que el futuro infinito corresponde a un gran $|z|=\infty$. Esta pinchado compleja $z$-avión $\mathbb{C}\backslash\{0\}$ establece el escenario para Laurent de la serie (y radial el pedido de prescripción para los operadores).

IV) En la serie de Fourier de expansión de la cadena de $X^{\mu}(z,\bar{z})$, la creación de operador modos se multiplica con $z$ $\bar{z}$ poderes, mientras que el operador de aniquilación modos se multiplica con $\frac{1}{z}$ $\frac{1}{\bar{z}}$poderes. De esta manera, la cadena de $X^{\mu}(z,\bar{z})$ se convierte en una de la serie de Laurent.