Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano finitamente generado. Entonces $G\otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q} = 0$ si y sólo si $G$ es un grupo finito. La parte "si" es fácil. La parte "sólo si" se puede demostrar con el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados . ¿Podemos demostrarlo sin utilizar el teorema?
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Dave Griffiths
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Dejemos que $F= \{f_1, \ldots, f_n\} \subseteq G$ un conjunto generador. Como $f_i \otimes 1 = 0$ para cada $i$ Hay un $m_i \in \mathbb Z$ tal que $m_if_i = 0$ . Por lo tanto, $$ G \subseteq \left\{ \sum_{i=1}^n k_i f_i \biggm| k_i\in \mathbb Z, \left|k_i\right| \le \left|m_i\right| \right\} $$ y $G$ es finito.
Adenda: Consideremos la secuencia exacta corta $0 \to K \to \mathbb Z \to G \to 0$ donde $1 \mapsto f_i$ es el mapa de $\mathbb Z$ a $G$ . Tensores con $\mathbb Q$ nos da el corto exacto $K \otimes \def\Q{\mathbb Q}\Q \to \mathbb Q \to 0 \to 0$ . Por lo tanto, $K \otimes \mathbb Q \to \mathbb Q$ es sobre, pero $K$ es un subgrupo de $\mathbb Z$ Así que $K \ne 0$ , digamos que $K = n \mathbb Z$ con $n \ne 0$ , dando $nf_i = 0$ .
Henrik
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Dejemos que $A$ sea un grupo abeliano, entonces $A\otimes \mathbb{Z}_m\cong A/mA$ como grupos abelianos. Si $A$ es $\mathbb{Q}$ entonces claramente $\mathbb{Q}/m\mathbb{Q}$ es trivial.
Como solicitas, la otra dirección se demuestra sin usar el teorema fundamental. Sea $G$ sea un grupo abeliano finitamente generado, entonces al menos uno de los generadores tiene orden infinito. Por lo tanto, $\mathbb{Z}\hookrightarrow G$ y $\mathbb{Q}\cong \mathbb{Q}\otimes\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Q}\otimes G\ne0$ .
