Demostrar propiedad camino de elevación utilizando Lebesgue cubriendo lema

Question

Para cada mapa $\gamma:[0,1]\to S^1$, demuestran que hay un mapa de $\hat\gamma:[0,1]\to\mathbb{R}$ $\gamma(t)=P(\hat\gamma(t)),$ donde $P(s)=(\cos 2\pi s,\sin 2\pi s)\in S^1$.

Yo quiero probar esta proposición uso de Lebesgue cubriendo lema, que establece que para que un espacio métrico compacto con la tapa abierta $\cup V_\lambda$, hay un $\epsilon>0$ tal que para cada a$x$, $\epsilon$- balón está completamente contenida en algunos grupos de la cubierta.

Con el fin de utilizar este teorema, supongo que primero tenemos que encontrar una cubierta abierta de a $[0,1]$. Por lo que yo consideraba un finito cubierta de $S^1$ (lo cual es posible, ya que $S^1$ es compact0, a continuación, la preimagen de estos conjuntos en $\gamma^{-1}$ forma una cubierta abierta de a $[0,1]$. Pero luego no sé cómo proceder.

Cualquier pensamiento que sería útil. Muchas gracias.

Answer 1

Usted necesita comenzar con una cubierta especial de $S^1$. Compacidad dice que dicha tapa tiene un número finito de subcover, no sólo eso $S^1$ tiene algunos finito portada! (Cada espacio admite finito cubre.)

El truco es cubrir las $S^1$ con conjuntos de $U_1,U_2$ de manera tal que la restricción $p:p^{-1}U_i\to U_i$ es un local homeomorphism. Una opción sencilla es$U_1=\{e^{2\pi i\theta},\theta\in(0,1)\}$$U_2=\{e^{2\pi i\theta},\theta\in (-1/2,1/2)\}$. La inversa de la imagen $p^{-1}U_1$, por ejemplo, es $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$, y en cada intervalo de $(m,m+1), p$ es un homeomorphism en $U_1$.

Ahora a través de Lebesgue cubriendo a obtener pequeños intervalos de $[k/N,(k+1)/N]$ tal que $\gamma([k/N,(k+1)/N])\subset U_i$ para uno de los $i$s. A continuación, hay infinitamente muchas elevaciones de $\gamma$ restringido a$[k/N,(k+1)/N]$$\mathbb{R}$: sólo invertir cualquiera de los homeomorphisms $p:(m,m+1)\to U_1$ o $p(m-1/2,m+1/2)\to U_2$, según corresponda. En qué intervalo de elevación en está determinado por $\tilde\gamma(k/N)$. Así que a levantar a todos los de $\gamma$ usted acaba de elegir cualquier ascensor desea al $k=0$. Que determina el ascensor, cuando $k=1$, debido a $\tilde\gamma(1/N)$ ya está elegido; que levante determina la elevación de $[2/N,3/N]$, debido a $\tilde\gamma(2/N)$ ya está elegido, y así sucesivamente: todo el levante está determinada únicamente por $\tilde\gamma(0)$.