Proporción áurea en función goniométrica

Question

Me topé con la función $$f(x)=\sin(x)(\sin(x)+2\cos(x)).$ $ ahora me di cuenta que esta función tiene máximos y mínimos en valores$$ \frac{1\pm\sqrt5}{2}, exactamente la proporción áurea.

Cómputo, esto puede ser verificado, pero me preguntaba si también es una explicación intuitiva (geométrica) de la proporción áurea que aparecen aquí.

Answer 1

Decir en el hecho de que el máximo o el mínimo de los valores tomados por la función de la proporción áurea $\Phi$ o su conjugado $1-\Phi$.

Aquí está una explicación. La derivada de

$$f(x)=\sin(x)(\sin(x)+2\cos(x)) \ \ (*)$$

es

$$f'(x)=\cos x (\sin x + 2 \cos x)+\sin x(\cos x -2 sin x).$$

que puede ser escrito

$$f'(x)=2 (\cos^2 x - \sin^2 x) + 2 sin x \cos x=2 \cos 2x +\sin 2 x$$

Por lo tanto, $f'(x)$ es igual a cero si y sólo si $\tan 2x=-2$. Conocer la relación de $\tan 2x = (2 \tan x)/(1- (\tan x)^2 )$, ahora tenemos que solucionar $2T/(1-T^2)=-2$ (estableciendo $T=\tan x$) lo que equivale a:

$$T^2=T+1 \ \ \ (1)$$

Por lo tanto $T$ es $T_1=1.618....$ (proporción áurea) o $T_2=-0.618...$ (su conjugado).

Ahora, tenemos que ir de a (*) porque es el extremal valores de $f$ que nos son de interés. Podemos escribir la expresión de la $f(x)$ bajo una forma que sólo involucra $\tan x$:

$$f(x)=\sin^2 x + 2 \sin \cos x=\dfrac{\tan^2x}{1+\tan^2 x}+\dfrac{2 \tan x}{1+\tan^2 x} \ \ (2)$$

Los valores extremos de $f(x)$ son obtenidos por una de las $T_k$s arriba.

Nos deja denotar por $T$ cualquiera de estos dos (que tanto verificar (1)).

La ecuación (2) se convierte en : $\dfrac{T^2+2T}{1+T^2}$ que es igual... a $T$.

De hecho, $T^2+2T=(1+T^2)T$ es inmediatamente llevado de vuelta a (1).