Me topé con la función $$f(x)=\sin(x)(\sin(x)+2\cos(x)).$ $ ahora me di cuenta que esta función tiene máximos y mínimos en valores $$\frac{1\pm\sqrt5}{2},$ $ exactamente la proporción áurea.
Cómputo, esto puede ser verificado, pero me preguntaba si también es una explicación intuitiva (geométrica) de la proporción áurea que aparecen aquí.
Decir en el hecho de que el máximo o el mínimo de los valores tomados por la función de la proporción áurea $\Phi$ o su conjugado $1-\Phi$.
Aquí está una explicación. La derivada de
$$f(x)=\sin(x)(\sin(x)+2\cos(x)) \ \ (*)$$
es
$$f'(x)=\cos x (\sin x + 2 \cos x)+\sin x(\cos x -2 sin x).$$
que puede ser escrito
$$f'(x)=2 (\cos^2 x - \sin^2 x) + 2 sin x \cos x=2 \cos 2x +\sin 2 x$$
Por lo tanto, $f'(x)$ es igual a cero si y sólo si $\tan 2x=-2$. Conocer la relación de $\tan 2x = (2 \tan x)/(1- (\tan x)^2 )$, ahora tenemos que solucionar $2T/(1-T^2)=-2$ (estableciendo $T=\tan x$) lo que equivale a:
$$T^2=T+1 \ \ \ (1)$$
Por lo tanto $T$ es $T_1=1.618....$ (proporción áurea) o $T_2=-0.618...$ (su conjugado).
Ahora, tenemos que ir de a (*) porque es el extremal valores de $f$ que nos son de interés. Podemos escribir la expresión de la $f(x)$ bajo una forma que sólo involucra $\tan x$:
$$f(x)=\sin^2 x + 2 \sin \cos x=\dfrac{\tan^2x}{1+\tan^2 x}+\dfrac{2 \tan x}{1+\tan^2 x} \ \ (2)$$
Los valores extremos de $f(x)$ son obtenidos por una de las $T_k$s arriba.
Nos deja denotar por $T$ cualquiera de estos dos (que tanto verificar (1)).
La ecuación (2) se convierte en : $\dfrac{T^2+2T}{1+T^2}$ que es igual... a $T$.
De hecho, $T^2+2T=(1+T^2)T$ es inmediatamente llevado de vuelta a (1).
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