$\sin x + c_1 = \cos x + c_2$

Question

Mientras trabajaba en un problema de física me encontré con una ecuación trigonométrica aparentemente sencilla que no podía resolver. Tengo curiosidad por saber si alguien conoce una forma de resolver la ecuación:

$\sin(x)+c_1 = \cos(x)+c_2$

(donde $c_1$ y $c_2$ son constantes) para $x$ sin utilizar el método de Newton o alguna otra forma de aproximación.

Answer 1

Escriba su ecuación como $$\cos (\pi/4) \cos x - \sin (\pi/4)\sin x = \frac{c_1 - c_2}{\sqrt 2} $$ ahora, el lado izquierdo se puede escribir como $$ \cos(x + \pi/4) = \frac{c_1 - c_2}{\sqrt2 } \tag 1 $$
si $|c_1 - c_2| \le \sqrt 2,$ entonces $(1)$ tiene una solución $$ x = \pm \cos^{-1}\left( \frac{c_1 - c_2}{\sqrt2 }\right) - \frac{\pi}4 + 2k\pi, \text{ where $ k $ is any integer. } $$

Answer 2

$$ A\sin x + B\cos x = \sqrt{A^2+B^2}\left( \frac A {\sqrt{A^2+B^2}}\sin x+ \frac B {\sqrt{A^2+B^2}}\cos x \right) $$

Obsérvese que la suma de los cuadrados de los coeficientes anteriores es $1$ por lo que son las coordenadas de algún punto del círculo unitario; por lo que hay algún número $\varphi$ tal que $$ \cos\varphi = \frac A {\sqrt{A^2+B^2}}\quad\text{and}\quad\sin\varphi=\frac B {\sqrt{A^2+B^2}}. $$ Y fíjate que $\tan\varphi=\dfrac B A$ Así que encontrar $\varphi$ es calcular una arctangente.

Ahora tenemos $$ A\sin x + B\cos x = \sqrt{A^2+B^2}(\cos\varphi \sin x+ \sin\varphi \cos x) = \sqrt{A^2+B^2} \sin(x+\varphi). $$

Aplique esto a $\sin x - \cos x$ en el que $A=1$ y $B=-1$ y se obtiene $$ \sqrt{2} \sin(x+\varphi) = c_2-c_1. $$ Así que sólo tienes que encontrar un arcoseno y una arctangente. Y la arctangente es fácil en este caso.