Pregunta fácil sobre la transformada de Fourier

Question

Creo que esto es fácil... pero no encuentro la respuesta.

Supongamos que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es un $n+2$ función diferenciable en el tiempo y y todas las derivadas hasta el orden $n+2$ están en $L_1$ . Por el cálculo sabemos que $\mathcal{F}(D^{n+2} f )(x) = (ix)^{n+2}\hat{f}$ . Aquí $\mathcal{F}$ y $\hat{\cdot}$ denotan la transformada de Fourier. Por el lema de Riemann-Lebesgue tenemos $(ix)^{n+2}\mathcal{F}(f) \to 0$ para $|x| \to \infty$ . Así, por integración, podemos demostrar que $x \mapsto (ix)^{n}\hat{f}(x)$ es un $L_1$ función.

Pregunta : Quiero saber si hay condiciones más débiles en la función $f$ que implican $\int_{-\infty}^{\infty} |x|^{n}|\hat{f}(x)| dx < \infty$ .

Gracias.

Answer 1

Vamos a tratar con $n=0$ caso; el caso general equivale a aplicar $n=0$ a la $n$ derivada de $f$ . La condición necesaria y suficiente sería " $f$ es la transformada inversa de Fourier de un $L^1$ función", que por supuesto no es muy útil: no hay una descripción explícita de la imagen de $L^1$ bajo la transformada de Fourier inversa (o directa). Al menos vemos que $f$ debe estar en $C_0$ Esto es necesario, pero no suficiente.

Una condición suficiente es: que haya $p\in (1,2]$ tal que $f,f' \in L^p(\mathbb R)$ . Aquí puede interpretar $f'$ como la derivada puntual o como la $L^p$ derivada, es decir, el límite de $(f(\cdot +h)-f)/h$ en $L^p$ : ver $L^p$ derivada frente a la derivada normal.

Prueba: la desigualdad de Hausdorff-Young dice que $\hat f$ y $\xi \hat f(\xi)$ están en $L^q$ , donde $q\in [2,\infty)$ es conjugado con $p$ . Por la desigualdad de Hölder $$ \begin{split} \int_{\mathbb R} |\hat f(\xi)|\,d\xi &= \int_{\mathbb R} (1+|\xi|)^{-1} (1+|\xi|) |\hat f(\xi)|\,d\xi \\ & \le \left(\int_{\mathbb R} (1+|\xi|)^{-p}\,d\xi\right)^{1/p} \left(\int_{\mathbb R} (1+|\xi|)^{q} |\hat f(\xi)|^q\,d\xi\right)^{1/q} <\infty \end{split} $$