Estoy intentando resolver un sistema de ecuaciones por medio de un método de un libro de texto. El problema viene cuando me encuentro con varias copias de un mismo autovalor, y estoy luchando para encontrar los 3 vectores propios.
Aquí está la pregunta:
Resolver
$x'(t) = Bx(t)$
donde $B$ es \begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1\end{bmatrix}
La respuesta se indica:
$x = (a + (2b - c)t + 2ct^2)e^{-t}$
$y = (b + 2ct)e^{-t}$
$z = ce^{-t}$
$\textbf{Attempt at solution:}$
Desde $B$ es una triangular superior de la matriz es claro que el determinante es de $(-1 - \lambda)^3 $ which gives us $\lambda_{1,2,3} = -1$ como valores propios.
Después de conectar $\lambda = -1$ $(B - \lambda I)$ La matriz resultante es
\begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
Por lo tanto, después de multiplicar esta matriz por \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}
y la creación de este es igual a 0, tengo que:
$2x_2 - x_3 = 0$ $2x_3 = 0$
Yo, a continuación, obtener el autovector $v_1 = (1,0,0)$ (creo que esta es la correcta)
No estoy seguro de cómo proceder a partir de este punto, en términos de encontrar 2 más vectores propios para llegar a esa solución. Si alguien puede proporcionar un tutorial de este punto, y mostrar cómo la respuesta es alcanzado, que sería increíblemente útil! Esto es para el auto-estudio.
