Resolviendo una matriz de sistema lineal de primer orden

Question

Estoy intentando resolver un sistema de ecuaciones por medio de un método de un libro de texto. El problema viene cuando me encuentro con varias copias de un mismo autovalor, y estoy luchando para encontrar los 3 vectores propios.

Aquí está la pregunta:

Resolver

$x'(t) = Bx(t)$

donde $B$ es $$\begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1\end{bmatrix}$$

La respuesta se indica:

$x = (a + (2b - c)t + 2ct^2)e^{-t}$

$y = (b + 2ct)e^{-t}$

$z = ce^{-t}$

$\textbf{Attempt at solution:}$

Desde $B$ es una triangular superior de la matriz es claro que el determinante es de $(-1 - \lambda)^3$ which gives us $\lambda_{1,2,3} = -1$ como valores propios.

Después de conectar $\lambda = -1$ $(B - \lambda I)$ La matriz resultante es

$$\begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$

Por lo tanto, después de multiplicar esta matriz por $$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}$$

y la creación de este es igual a 0, tengo que:

$2x_2 - x_3 = 0$ $2x_3 = 0$

Yo, a continuación, obtener el autovector $v_1 = (1,0,0)$ (creo que esta es la correcta)

No estoy seguro de cómo proceder a partir de este punto, en términos de encontrar 2 más vectores propios para llegar a esa solución. Si alguien puede proporcionar un tutorial de este punto, y mostrar cómo la respuesta es alcanzado, que sería increíblemente útil! Esto es para el auto-estudio.

Answer 1

Método 1: Observe que la tercera ecuación es independiente de las otras dos.

Tenemos $$z' = -z \implies z(t) = c e^{-t}$$

Sustituyendo $z(t)$ en la segunda ecuación, tenemos

$$y' = -y + 2 z = -y + 2 c e^{-t} \implies y(t) = (b + 2ct)e^{-t}$$

Sustituyendo $y(t)$ $z(t)$ en la primera ecuación, tenemos

$$x' = -x + 2 y - z = -x + 2(b + 2ct)e^{-t} - c e^{t}$$

Resolviendo obtenemos

$$x(t) = (a + (2b - c)t + 2ct^2)e^{-t}$$

Método 2: Autovalores / Vectores Propios

Esta es una deficiencia de la matriz (como se descubrió). Está usted familiarizado con los vectores propios generalizados, y el Jordán?

El autovalor (triple) es $\lambda = -1$ y el RREF de $[A + I]v _1 = 0$ da

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}v_1 = 0 \implica v_1 = (1, 0, 0)$$

Desafortunadamente, no podemos obtener más vectores propios linealmente independientes, por lo que necesitamos encontrar generalizada. Siguiendo estos Jordan de la Matriz de Notas, tenemos la RREF de $[A + I]v_2 = v_1$ (se muestra como la matriz ampliada)

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Podemos elegir

$$v_2 = \left(0, \dfrac{1}{2}, 0 \right)$$

La repetición de la RREF de $[A + I]v_3 = v_2$, obtenemos

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \frac{1}{8} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Podemos elegir

$$v_3 = \left(0, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8} \right)$$

Refiriéndose a las notas, ahora podemos escribir

$$X(t) = e^{-t}\left[c_1 v_1 + c_2 (v_2 + t v_1) + c_3 \left(v_3 + t v_2 + \dfrac{t^2}{2!} v_1\right)\right]$$