Se puede definir bilineal mapas de $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{2n-1}$ considerando los elementos en $\mathbb{R}^n$ como polinomios y hacer la multiplicación. Esto define un $H$-estructura de espacio en $RP^{\infty}$ ya que algunos elementos de este espacio se han ceros después de un número finito de entradas en coordenadas homogéneas. Al parecer, esto define una estructura de grupo en el conjunto de $[X, RP^{\infty}]$ de homotopy clases de mapas a partir de un espacio de $X$ a $RP^{\infty}$. Estoy teniendo un tiempo difícil ver cómo los inversos de trabajo en este grupo y me parece que no puede encontrar toda la información en libros o en línea. Cualquier pensamiento sería muy apreciada!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No es una solución, sólo un poco largo para un comentario.
Creo que hay un teorema de Stasheff para el efecto de que un stricly asociativa (?) H-espacio de $S$ cuyo conjunto de componentes de la ruta $\pi_0S$ es un grupo (en virtud de la inducida por el mapa de $\mu_*$ donde $\mu:S\times S\to S$ es la multiplicación), un H-espacio es homotopy equivalente (como un H-espacio) a un bucle espacio, por lo tanto es un objeto de grupo.
Yo no sé cómo esto se da a la inversa mapa aquí, pero la hipótesis ciertamente son verificados, como $\Bbb RP^{\infty}$ con su multiplicación es estrictamente una asociativo (stricly conmutativa, stricly unital) trayectoria-conectado H-espacio. Así, el homotopy conjuntos de $[X,\Bbb RP^{\infty}]$ son en realidad conmutativa grupos (y no sólo monoids.)
Puede o no puede ayudar a usar el hecho de que $\Bbb RP^{\infty}$$K(\Bbb Z/2\Bbb Z,1)$; habría que relacionar las estructuras multiplicativas.
Me parece recordar que esta es mencionado antes en los días de Adán libro "Bucle Infinito de Espacios", y probablemente en Stasheff artículos de "Homotopy Asociatividad para H-espacios I, II", que están disponibles en línea de forma gratuita.
Tal vez una respuesta?
No parece demasiado razonable (a primera vista) que $f$ es su propia homotopy inversa. Para $f^2$ (intuitivamente, esto no significa de ninguna manera una prueba), en cada punto de $x\in X$, una línea en $\Bbb R^{\infty}$ generado por un vector cuya mayor índice con un coeficiente distinto de cero es llevado por un coeficiente positivo ($a_n^2$), y uno podría esperar de un "lineal homotopy" de $f^2$ a la constante mapa igual a $\Bbb R\in\Bbb RP^{\infty}$.
Creo que la siguiente es una prueba :
En un grupo topológico $G$, la multiplicación de $G$ induce el mismo mapa como la concatenación de los bucles. A mí me parece que esto es cierto en un sentido estrictamente unital H-espacio. Deje $a,b$ ser bucles basado en $1=1_{\Bbb RP^{\infty}}=\Bbb R\in\Bbb RP^{\infty}$, y deje $[1]$ ser la constante de bucle en $1$. A continuación, $b$ es homotópica (como un bucle) a $[1]\star b$, y de manera similar a $a$ es homotópica (como un bucle) a $a\star [1]$, y por lo tanto $$\mu(a,b)\simeq\mu(a\star [1],[1]\star b)=a\star b$$ (donde hemos usado el hecho de que $1$ es una estricta unidad), de modo que la multiplicación $\mu_*$ es igual a la multiplicación en $\pi_1(\Bbb RP^{\infty},1)$.
(Editar) Más precisamente, si $(X,e)$ es la punta de su espacio equipado con una multiplicación $\mu:X\times X\to X$ que satisface los dos mapas de $X\to X$ definido por $x\mapsto\mu(x,e)$ $x\mapsto\mu(e,x)$ son homotópica rel. $e$ $\mathrm{id}_{X}$, $\mu_*:\pi_1(X,e)\times\pi_1(X,e)\to\pi_1(X,e)$ es producto de las rutas. (Fin de la Edición)
Esto demuestra que $\mu(f,f)_*$ induce el trivial mapa en $\pi_1$, ya que el $\pi_1(\Bbb RP^{\infty})=\Bbb Z/2$ (y en todos los demás homotopy grupos, ya que son triviales para proyectiva del espacio.)
Al $X$ es un CW complejo (o cualquier espacio que está conectado localmente en el adecuado sentido), $\mu(f,f)$ ascensores de un mapa de $\widetilde{\mu(f,f)}:X\to\Bbb S^{\infty}$ (utilizando el estándar de los hechos acerca de la cobertura de los espacios). La infinita esfera es contráctiles, y por lo $\widetilde{\mu(f,f)}$ es homotópica a una constante mapa, y también lo es su proyección a $\mu(f,f)$.
Esto demuestra que $f$ es su propia homotopy inversa.
