El Yang-Mills acción se dan generalmente por $$S= \int\text{d}^{10}\sigma\,\text{Tr}\left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\theta^{T}\gamma^{\mu}D_{\mu}\theta\right)$$
con el campo de fuerza se define como el $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}-ig\left[A_{\mu},A_{\nu}\right]$
, $A_{\mu}$
siendo U(N)
Hermitian medidor de campo en el adjunto de la representación, $\theta$
ser $16\times1$
Majorana-Weyl spinor de $SO(9)$
en el adjunto a la representación y $\mu=0,\dots,9$
. La derivada covariante es dado por $D_{\mu}\theta=\partial_{t}\theta-ig\left[A_{\mu},\theta\right]$. Estamos utilizando una métrica en su mayoría con signos positivos.
Nos re-escala de los campos por $A_{\mu}\to\frac{i}{g}A_{\mu}$
y deje $g^{2}\to\lambda$
lo que nos da $$S=\int\text{d}^{10}\sigma\,\text{Tr}\left(\frac{1}{4\lambda}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\theta^{T}\gamma^{\mu}D_{\mu}\theta\right)$$
con el campo de fuerza se define como el $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}+\left[A_{\mu},A_{\nu}\right]$
y la derivada covariante $D_{\mu}\theta=\partial_{t}\theta+\left[A_{\mu},\theta\right]$.
Ahora, llevamos a cabo una reducción dimensional de $9+1$
a $0+1$
, de modo que todos los campos sólo depende del tiempo, thous todos los derivados se desvanecen decir $\partial_{a}(\text{Anything})=0$
. El $10$
dimensiones del vector de campo se descompone en $9$
campos escalares $A_{a}$
que le cambie el nombre de $X^{a}$
y con un medidor de campo $A_{0}$
que le cambie el nombre de $A$
. Esto le da (tenga en cuenta que $\gamma^{t}=\mathbb{I}$ y $\gamma^{a}=\gamma_{a}$. $$F_{0a}= \partial_{t}X^{a}+\left[a,X^{a}\right],\quad F_{ab}=+\left[X^{a},X^{b}\right]
\gamma^{t}D_{t}\theta= \partial_{t}\theta+\left[A,\theta\right],\quad\gamma^{a}D_{a}\theta=\gamma_{a}\left[X^{a},\theta\right]$$
La acción de esta teoría es entonces
$$S=\int\text{d}t\,\text{Tr}\left(\frac{1}{2\lambda}\bigg\{-\left(D_{t}X^{a}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}\bigg\}-\theta^{T}D_{t}\theta-\theta^{T}\gamma_{a}\left[X^{a},\theta\right]\right)$$
con la derivada covariante define como $D_{t}X^{a}=\partial_{t}X^{a}+\left[A,X^{a}\right]$
y $D_{t}\theta=\partial_{t}\theta+\left[A,\theta\right]$
Ahora a la pregunta. Necesito la energía potencial $V=+\frac{1}{2}\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}$ a ser negativo, no positivo.
Taylor tiene una discusión sobre esto en su papel de "Conferencias sobre D-branes, Teoría de Gauge y M(atrices)" (http://arxiv.org/abs/hep-th/9801182) en la página 10, donde escribe:
"Debido a que la métrica que estamos utilizando tiene una en su mayoría positivos de la firma,
la cinética términos tienen un solo criado 0 índice correspondiente a un cambio de
signo, por lo que la cinética términos tienen el signo correcto. El colector de plazo $\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}$ que actúa como un potencial término es en realidad negativa definitiva. Esto se deduce del hecho de que $\left[X^{a},X^{b}\right]^{\dagger}=\left[X^{b},X^{a}\right]=-\left[X^{a},X^{b}\right]$. Por lo tanto, como era de esperar,
cinética en términos de la acción positiva, mientras que el potencial términos son negativos."
Pero no entiendo donde el Hermitian conjugado $^\dagger$ proviene de la, para mí, este término es: $$\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}=\left[X^{a},X^{b}\right]\left[X_{a},X_{b}\right]$$
Tenga en cuenta que Taylor usa un poco de los diferentes convenios cuando volvió a escalas, en lugar de $A_{\mu}\to\frac{i}{g}A_{\mu}$ se utiliza $A_{\mu}\to\frac{1}{g}A_{\mu}$$\theta \to\frac{1}{g}\theta$. Pero esto no debería causar ningún problema, creo.
