Como se observa, la homogeneidad de coordinar $Y$ nunca puede ser cero en un $2$-torsión punto, así que puede trabajar en los afín parche con coordenadas $x = X/Y$, $z = Z/Y$,
donde la curva elíptica tiene por ecuación $z^2 + z = x^3$, y el origen (para el grupo la ley), igual a la del punto de $(0,0)$.
En estas coordenadas, el mapa de $[-1]$ está dado por $(x,z) \mapsto (-\dfrac{x}{1+z},-\dfrac{z}{1+z})$. (Esta no está definida cuando $z = -1$, debido a $[-1]$ es de $(0,-1)$ a un punto situado en el infinito, en estas coordenadas, por lo que nos puede quitar la línea de $z = -1$ si lo desea).
Por lo tanto, en estas coordenadas, $E[2]$ se corta por las ecuaciones $z+z^2 - x^3 = 2x+xz = 2z + z^2 = 0$, tal como usted indica, que (como calcular) se reducen a las ecuaciones $x^4 - 2x = 0$$z = -x^3$.
Pero ahora usted puede utilizar la costumbre de acordes de la tangente a la ley para la suma:
Dado los puntos de $P_1 = (x_1,z_1)$$P_2 = (x_2,z_2)$, vamos a $m$ ser el
pendiente de la línea que une la $P_1$$P_2$. El tercer punto de intersección
de esta línea con $E$ ha $x$-coordinar igual a $m^2 - x_1 - x_2$.
El gradiente $m$ está dado por la fórmula
$$\dfrac{z_1-z_2}{x_1 - x_2} = \dfrac{(z_1-z_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2)}{x_1^3 - x_2^3} = \dfrac{(z_1-z_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2)}{z_1 - z_2 + z_1^2 - z_2^2} = \dfrac{x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2}{1 + z_1 + z_2}.$$
Ahora podemos restringir la atención a $E[2]$ donde $z = -x^3$, para obtener la adición de fórmula (escrito en términos de $x$-coordenadas solos, porque los puntos en $E[2]$ están determinados por las $x$-coordenadas)
$$(x_1,x_2) \mapsto \dfrac{(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2)^2}{(1 -x_1^3 - x_2^3)^2} - x_1 - x_2.$$
Por supuesto, usted puede simplificar usando las relaciones de $x_1^4 = 2 x_1$$x_2^4 = 2 x_2$; voy a dejar que usted.
Añadido: En la luz de un comentario a continuación, tal vez debo señalar que esta fórmula de respuesta el OP pregunta!
Es decir, $x_1$ $x_2$ son más convenientes para los nombres de los elementos de la $x\otimes 1$ $1 \otimes x$ del producto tensor. La fórmula anterior puede entonces expresarse de otra manera diciendo que la comultiplication está dada por
$$x \mapsto \dfrac{(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2)^2}{(1 - x_1^3 - x_2^3)^2} - x_1 - x_2.$$
Esta fórmula tiene sentido, porque la $(1- x_1^3 - x_2^3)$ es invertible en
el anillo
$$\mathbb Z_2[x_1,x_2]/(x_1^4 - 2 x_1, x_2^4 - 2 x_2) = \mathbb Z_2 [x]/(x^4 - 2 x) \otimes \mathbb Z_2[x]/(x^4 - 2x).$$
Una cosa más: la curva elíptica $E$ tiene una buena reducción de más de $\mathbb Z[1/3]$,
y la fórmula anterior realmente calcula $E[2]$ como finito plana esquema de grupo sobre $\mathbb Z[1/3]$. (I. e. podemos reemplazar $\mathbb Z_2$ $\mathbb Z[1/3]$ en la discusión.)
