hallazgo

Question

Quise encontrar $\int\frac{\sqrt{1-t^2}}{1+t^2}dt$, así que sustituye $t=\sin\theta$ y tiene $\int\frac{\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}d\theta$;

pero no estoy seguro de lo que sería la mejor manera de proceder desde aquí.

Answer 1

$$\int\frac{\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}d\theta$$

multiplicar el num y denum $\sec^4\theta$

$$\int\frac{\sec^2\theta}{\sec^4\theta+\sec^2\theta\tan^2\theta}d\theta$$

identidad trigonométrica $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta$

$$\int\frac{\sec^2\theta}{2\tan^4\theta+3\tan^2\theta+1}d\theta$$

sustituir $u=\tan\theta$

El resto es expansión de fracción parcial + funciones trigonométricas inversas

Answer 2

Sugerencia

Se llegó a $$I=\int\frac{\cos^2(\theta)}{1+\sin^2(\theta)}d\theta$$ Use the double angle formula to express $\cos^2 (\theta) $ and $\sin^2 (\theta) $ as function of $\cos (2\theta)$. So, $$I=\int\frac{1+\cos (2\theta)}{3-\cos (2\theta)}d\theta$$ Now, use the tangent half-angle substitution $t=\tan (\theta) $ $$I=\int\frac{2}{2 t^4+3 t^2+1}dt$$ The roots of $2x^2+3x+1=0$ being $-1$ and $-\frac 12$, then continue with partial fraction decomposition $$I=\int\frac{4}{2 t^2+1}dt-\int\frac{2}{t^2+1}dt$$ The second integral does not make any problem and, for the first one, use $t\sqrt 2 = $ y para llegar a algo similar.