Mostrar $ \lim_\limits {x \to\infty } x(1- \frac { \ln (x -1)}{ \ln x})=0$

Question

La siguiente expresión surgió en una prueba que estaba leyendo, donde se dice "Se muestra fácilmente: $$ \lim_ {x \to\infty } x(1- \frac { \ln (x-1)}{ \ln x})=0."$$

Desafortunadamente no me es fácil demostrarlo. Supongo que debería reducirse a mostrar que la proporción $ \frac { \ln (x-1)}{ \ln x}$ converge a 1 superlineal, lo que parece intuitivo pero no sé cómo probarlo formalmente. ¿Algún consejo?

Edición: la pregunta original tenía un error de imprenta implícito $ \ln x - 1$ en lugar de la pretendida $ \ln (x-1)$ .

Answer 1

Bueno, es falso: $$x \biggl (1- \frac { \ln x-1}{ \ln x} \biggr )= \frac x{ \ln x} \to + \infty. $$

Answer 2

Su pregunta sólo tiene sentido si se planteó como $$ \lim_ {x \to\infty }x \left (1- \frac { \ln (x-1)}{ \ln x} \right ) $$ que puede ser fácilmente transformado en $$ \lim_ {x \to\infty } \frac {-x \ln (1- \frac1x )}{ \ln x}= \lim_ {x \to\infty } \frac {1+O( \frac1x )}{ \ln x}=0 $$