Suma de los valores singulares de (A + B)

Question

Cómo podemos demostrar:

$$\sum_{i=1}^n\sigmai(A+B)\leq\sum{i=1}^n\sigmai(A)+\sum{i=1}^n\sigma_i(B)$$

Donde $\sigma_i$s son los valores singulares $\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\geq\sigma_n\geq0$.

Answer 1

$$ \sum_{i=1}^n \sigma_i(A) = \sup{|\text{trace}(AU)| : \text{$U $ is unitary}} .$ $ de ver esto, observe por SVD que $A = V_1 \Sigma V_2$ donde $V_1$ y $V_2$ unitarios y $\Sigma$ es la matriz diagonal de valores singulares. También tenga en cuenta que $\text{trace}(XY) = \text{trace}(YX)$ y así $$ \sup{|\text{trace}(AU)| : \text{$U $ is unitary}} = \sup{|\text{trace}(\Sigma U)| : \text{$U $ is unitary}} .$ $ para obtener el $\le$ $U = I$ de uso. Para obtener el $\ge$ multiplicar hacia fuera y ver $ |\text{trace}(\Sigma U)| \le \text{trace}(\Sigma)$.

Por lo tanto\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \sigma_i(A+B) &= \sup{|\text{trace}((A+B)U)| : \text{%#%#% is unitary}} \&\le \sup{|\text{trace}(AU)| + |\text{trace}(BU)| : \text{%#%#% is unitary}} \&\le \sup{|\text{trace}(AU)| : \text{%#%#% is unitary}} + \sup{|\text{trace}(BU)| : \text{%#%#% is unitary}} .\end{alineado}

Answer 2

Como sabemos la suma de los valores singulares es equivalente a las normas unitario invariantes. Libro de análisis de matriz Así que en lugar de probar la $$\sum_{i=1}^n\sigmai(A+B)\leq\sum{i=1}^n\sigmai(A)+\sum{i=1}^n\sigma_i(B)$ $ puede mostrar $||A+B||\leq ||A||+||B||$ y la última es verdadera debido a característica de la norma.