Límites y convergencia: selección del épsilon correcto para las pruebas

Question

Demuestre que si el límite de la secuencia $x_n$ va a $x$ como $n$ va a $ \infty$ y $ x > a$ entonces $x_n > a$ todos, pero finitamente muchos $ n$ .

Lo he empezado así: $x_n > x - \epsilon$ (como $|x_n- x| < \epsilon$ para todos $\epsilon$ )

$x_n > a - \epsilon$

A partir de aquí, ¿cómo se elige el épsilon correcto para demostrar que $x_n > a$ ?

Answer 1

Siempre es mejor dibujar una recta numérica (si es posible hacerlo mentalmente en lugar de en papel) y colocar $x, a$ en él: $$------a-----x-----$$ Ahora las cosas están muy claras. Como $n\to\infty$ los valores de $x_n$ se acercará $x$ y en la figura anterior se puede ver que a medida que uno se acerca $x$ se obtiene mayor que $a$ .

La pregunta es "¿cuánto hay que acercarse a $x$ para llegar a ser mayor que $a$ ?". Dado que la distancia entre $x$ y $a$ es $|x-a|=x-a$ uno tiene que acercarse a $x$ por menos de esta cantidad. Elija cualquier valor positivo $\epsilon$ menos de $x-a$ y ya está. En particular, puede elegir $\epsilon=(x-a) /2$ . Tenga en cuenta que $\epsilon=x-a$ también funciona porque la desigualdad utilizada en la definición del límite es $<$ y no $\leq $ .

Answer 2

Dejemos que $\epsilon = \frac {x-a}{2}$

Entonces $x-\epsilon = \frac {x+a}{2} >a$

Así, $x_n > x-\epsilon \implies x_n >a$

Answer 3

Si una secuencia $x_n$ converge a $x$ por definición significa que para cada $\epsilon >0$ existe un $N$ tal que $$|x_n-x|<\epsilon\tag{1}$$ para todos $n>N$

Ahora (1) puede reformularse como $x_n\in (x-\epsilon, x+\epsilon)\tag{2}$ para todos $n>N$

Toma $\epsilon=x-a$ (como $x>a, x-a$ es un número positivo y por lo tanto la elección de tomar $x-a=\epsilon$ tiene sentido).

Por definición, existe un $N$ tal que $$x_n\in (x-\epsilon, x+\epsilon)$$ para todos $n>N$ . Ahora ponga el valor de $\epsilon $ se obtiene $$x_n\in (x-(x-a),x+x-a)=(a,2x-a)$$

Por lo tanto, $x_n>a$ para todos $n>N$