Computar $\lim_{x\to0}{1 - e^{-x}\over e^x - 1}$

Question

Computar $\displaystyle \lim_{x\to0}{1 - e^{-x}\over e^x - 1}$ .

Así que, ante todo, sé cuál es la respuesta a esta pregunta:

$$\begin{align}\lim_{x\to0}{1 - e^{-x}\over e^x - 1} &= \lim_{x\to0}\left({1 - e^{-x}\over e^x - 1}\right)\cdot{e^x\over e^x} \tag{$\star$}\\ & = \lim_{x\to0}{e^x - 1\over (e^x - 1)e^x} \\ &= \lim_{x\to0}{1 \over e^x} \\ &= {1\over e^0} \\ &= 1.\end{align}$$

Por desgracia, encontré esta solución por completo accidente. No puedo justificar realmente la motivación de por qué realicé el paso $(\star)$ que no sea "vi el $e^{-x}$ y pensó en tratar de deshacerse de él.

Inicialmente la primera idea que se me ocurrió fue utilizar el conjugado de una de las funciones, pero al final no vamos a ninguna parte con el problema. (Todavía queda ese desagradable $e^{-x}$ utilizando cualquiera de los dos conjugados). ¿Es probable que este sea el previsto ¿Solución a este problema? Lamentablemente no veo otra forma de resolver el problema.

Answer 1

Aquí hay tres maneras de hacerlo:

Taylor

Puedes utilizar a Taylor, es decir $e^{x} \sim 1 + x$ Así que $$\frac{1 - e^{-x}}{e^{x} - 1} \sim \frac{1 - (1-x)}{1+x-1} = \frac{x}{x} =1$$

Factorización

Otra forma (pero equivalente) es el factor $e^{x}$ del denominador $$\displaystyle \lim_{x\to0}{1 - e^{-x}\over e^x - 1} = \displaystyle \lim_{x\to0}{1 - e^{-x}\over e^{x}(1 - e^{-x})}= \lim_{x\to0}\frac{1}{e^{x}} = \frac{1}{e^0} = 1$$

L'Hopital

Puede resolver por L'Hopital, es decir $$\displaystyle \lim_{x\to0}{1 - e^{-x}\over e^x - 1} = \displaystyle \lim_{x\to0} \frac{e^{-x}}{e^{x}} = \frac{e^{0}}{e^{0}} = 1$$

Puede utilizar $(\epsilon,\delta)$ definición también

Answer 2

También puede utilizar el sustitución $x=\ln y$ . Esto puede hacer que su truco parezca más natural : $${1 - e^{-x}\over e^x - 1} = {1 - e^{-\ln y}\over e^{\ln y} - 1} ={1 - {1 \over y}\over y - 1} ={y - 1\over y(y - 1)} = { 1\over y}\stackrel{y \to 1}{\longrightarrow}1$$

Answer 3

Otra forma es escribir $e^{-x}$ como $\dfrac{1}{e^x}$ .

Entonces, $$\begin{align}\lim_{x\to0}{1 - e^{-x}\over e^x - 1} &= \lim_{x\to0}\left({1 - \dfrac{1}{e^{x}}\over e^x - 1}\right) \\ & = \lim_{x\to0}{e^x - 1\over (e^x - 1)e^x} \\ &= \lim_{x\to0}{1 \over e^x} \\ &= {1\over e^0} \\ &= 1\end{align}$$

¿Ves? Casi lo mismo que tu solución. Creo que uno puede ver fácilmente a través de estos pasos.

Answer 4

Mi propio enfoque sería notar la similitud entre el numerador y el denominador, y por conjetura realizar la factorización

$$e^x-1=e^x(1-e^{-x})$$ y el resto es fácil.

O para realizar la sustitución $t:=e^x$ , dando

$$\frac{1-\dfrac1t}{t-1}=\frac1t.$$