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$\int_{1}^\infty\frac{\sin(x^2)}{x^p}dx$ para que valores de p la integral convergen en la condición

$$\int_1^\infty\frac{\sin(x^2)}{x^p} \, dx$$ para que los valores de p que hace la integral converge en la condición? y para que valores lo hace convergen absolutamente?

Me las arreglé para encontrar los valores de $p$, lo que hará que la integral converge absolutamente , se $p>1$, pero yo no podia resolver por la condición de los valores de $p.$

$$\int_1^\infty\frac{\sin(x^2)}{x^p} \, dx $$ assign $t=x^2$ se obtiene : $$\frac{1}{2}\int_1^\infty\frac{\sin(t)}{t^\frac{p+1}{2}} \, dt$$ $$\int_1^\infty \left|\frac{\sin(t)}{t^\frac{p+1}{2}}\,dt\right| \le \int_1^\infty\frac{1}{t^\frac{p+1}{2}}\,dt$$ por lo tanto, si $\frac{p+1}{2}>1 \to p>1$ la integral converge.

En las respuestas que el valor de la convergencia condicional es para $0<p\le1$ no puede entender por qué

4voto

Szeto Puntos 16

La integración por partes, (por $n>0$ solamente (por qué?)) $$\int^\infty_1 \frac{\sin x}{x^n}dx=\cos 1-(1+n)\int^\infty_1\frac{\cos x}{x^{n+1}}dx$$

Integrando por partes varias veces, usted siempre puede hacer que la potencia en el denominador tan grande como sea posible para obtener la convergencia absoluta, por lo que la única condición es $n>0$.

En consecuencia, $p>-1$ (que es bastante contra-intuitivo para mí).


Para mostrar el tipo de convergencia (absoluta o condicional), podemos considerar que los $$\begin{align} &~~~~\int^\infty_1\frac{|\sin x|}{x^n}dx \\ &\le\int^\infty_1\frac{\sin^2 x}{x^n}dx \\ &=\frac12\int^\infty_1\frac{1-\cos 2x}{x^n}dx \\ &=\frac12\int^\infty_1\frac1{x^n}-\frac12\int^\infty_1\frac{\cos 2x}{x^n}dx \end{align} $$

Hemos demostrado que el segundo término siempre converge. Por lo tanto, la convergencia absoluta de la integral original es equivalente a la convergencia de la primer término, que puede ser examinado por la p de la prueba.

El resultado es que la convergencia es absoluta para $1<p$.

1voto

Dr. MV Puntos 34555

Como el OP mostró, tenemos

$$\int_1^L \frac{\sin(x^2)}{x^p}\,dx=\frac12\int_1^{L^2} \frac{\sin(x)}{x^{(p+1)/2}}\,dx\tag1$$

El uso de las Abel-Dirichlet de la prueba, la integral en el lado derecho de la $(1)$ converge (condicional) cuando $\frac12(p+1)>0$. Así, por $p>-1$, la integral en $(1)$ es convergente.

Se puede demostrar que es absolutamente convergente sólo al $\frac12(p+1)>1$ o $p>1$. Para ello, expresar la integral en el lado derecho de la $(1)$ en la suma de las integrales

$$\int_1^{L^2} \frac{\sin(x)}{x^{(p+1)/2}}\,dx=\int_1^\pi \frac{\sin(x)}{x^{(p+1)/2}}\,dx+\sum_{k=1}^{\lfloor L^2/\pi\rfloor -1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{\sin(x)}{x^{(p+1)/2}}\,dx+\int_{\lfloor L^2/\pi\rfloor \pi}^{L^2} \frac{\sin(x)}{x^{(p+1)/2}}\,dx$$

Se puede terminar ahora?

-2voto

B. Goddard Puntos 2488

Si ver el integrando y considerar la secuencia de las áreas positivas y negativas, verás que tienes una serie alterna con términos de disminución de valor absoluto, cualquier $p>0.$

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