Grado de Mapa entre Esferas

Question

Dejemos que $f: S^n \to S^n$ sea un morfismo continuo entre $n$ -esferas. Se sabe (por ejemplo usando la suspensión thm de Freudenthal) que para todo $n \in \mathbb{N}$ tiene $\pi_n(S^n) \cong \mathbb{Z}$ .

Por lo tanto, podemos definir el grado $deg(f) \in \mathbb{Z}$ de $f$ de la siguiente manera única tal el diagrama de abajo conmuta:

$$ \require{AMScd} \begin{CD} \pi_n(S^n) @>{f_*} >> \pi_n(S^n) \\ @VV \cong V @VV \cong V \\ \mathbb{Z} @>{\cdot deg(f)}>> \mathbb{Z} \end{CD} $$

Observación: los isomorfismos $\pi_n(S^n) \cong \mathbb{Z}$ se eligen compatibles de manera que el generador fijo de $i_n \in \pi_n(S^n)$ es wlog en los mapas verticales de la izquierda y la derecha se mapea en $1$ .

Por lo tanto, el mapa $\mathbb{Z} \xrightarrow{\text{deg(f)}} \mathbb{Z} $ se da como mapa de multiplicación $z \to deg(f) \cdot z$

Considere a partir de ahora como $f_n$ la concatenación de mapas canónicos

$$f_n: S^n \xrightarrow{\text{p}} \mathbb{PR}^n \xrightarrow{\text{q}} \mathbb{PR}^n/\mathbb{PR}^{n-1} \cong S^n$$

Aquí $p$ viene de la doble cobertura $S^n \to \mathbb{PR}^n$ y $q$ es el cociente que surge de la estructura CW / pushout de $\mathbb{PR}^n \cong \mathbb{PR}^{n-1} \cup_j D^n$

donde $j: S^{n-1} \to \mathbb{PR}^{n-1}$ es el mapa de acoplamiento (el mismo que $p$ pero para una menor potencia $n-1$ ).

Se puede calcular utilizando los grupos de homología de $S^n$ y $\mathbb{PR}^n$ que

\begin{equation} deg(f_n) = \begin{cases} 2 & \text{if n odd} \\ 0 & \ \text{if n even} \end{cases} \end{equation}

Mi pregunta es cómo se puede visulizar / entender intuitivamente que $deg(f_2) =0$ por lo que $f_2:S^2 \to S^2$ ¿es nulo homotópico?

Si consideramos el caso $f_1: S^1 \to S^1$ entonces se puede intuir que $deg(f_1) =2$ ya que por construcción de $f_n$ y la identificación $\mathbb{PR}^2 = S^1 /(x \sim -x)$ el mapa $f_1$ hace $S^1$ para correr dos veces alrededor de sí mismo.

Pero donde está el quid de la cuestión es por qué este argumento falla para $f_2$ ?

Aquí he dibujado (por favor, no critiquen mi talento para el dibujo :) ) la situación para n=1:

Pero para $S^2$ parece que desde $deg(f_2)=0$ que $f_2$ puede contraerse al mapa constante. Supongo que esto tiene que ver con las propiedades del límite $S^1$ pero no puedo encontrar un argumento intuitivo.

¿Puede alguien ayudarme a visualizar la intuición que hay detrás de este fenómeno?

Answer 1

Para este post, estoy pensando en $\mathbb{R}P^n$ modelado por el hemisferio norte de $S^n$ con puntos ecuatoriales antipodales identificados. Además, sólo voy a escribir $f$ en lugar de $f_n$ .

Dejemos que $N,S\subseteq S^n$ denotan los hemisferios norte y sur (cerrados). Sea $n\in N$ , $s\in S$ sean el polo norte y el polo sur. (Para definirlo, $n = (0,0,...,0,1)$ y $s = -n$ .

¿Qué es? $f|_N$ ? Bueno, $p|_N$ es la identidad (excepto en el ecuador), mientras que $q$ envuelve la semiesfera alrededor de la esfera. Pero los puntos del ecuador $S^{n-1}\subseteq N$ se asignan a $s$ .

En otras palabras, podemos pensar en $f|_N$ en coordenadas hiperpolares como $f(\vec{\theta}, \phi) = 2\phi$ . Para ser claros, $\phi\in [0,\pi]$ mide el ángulo desde $(0,...,1)$ a $x\in S^{n-1}$ y $\vec{\theta} = (\theta_1,....\theta_{n-1})$ con $\theta_1\in[0,2\pi]$ pero todos los demás $\phi_i\in[0,\pi],$ es el conjunto de parámetros angulares en $S^{n-1}$ . (Cuando $n = 2$ , $\vec{\theta}$ es el habitual $\theta$ en coordenadas esféricas).

¿Qué es? $f|_S$ ? Bueno, primero usamos el mapa antipodal $a$ para trasladar todos estos puntos al hemisferio norte, y luego copiar $f|_S$ . Así que, $f|_S = f|_N \circ a$ . En términos de coordenadas, $a(\vec{\theta}, \phi) = (\underline{\vec{\theta}}, \pi-\phi)$ donde $\underline{\vec{\theta}} = (-\theta_1, \pi-\theta_2,...,\pi-\theta_{n-1})$ .

(Como el mapa anitpodal tiene grado $(-1)^{n+1}$ hasta ahora esto sólo reproduce su prueba de que $\deg(f_n) = 1 + (-1)^{n+1}$ .)

Así, podemos describir $f$ a través de $f(\vec{\theta},\phi) = \begin{cases}(\vec{\theta}, 2\phi) & \phi\in[0,\pi/2] \\ (\underline{\vec{\theta}} , 2(\pi-\phi)) & \phi\in[\pi/2,\pi] \end{cases}.$

Como comprobación de cordura, esta fórmula da claramente un continuo $f$ lejos de $\phi = \pi/2$ . Pero $\lim_{\phi\rightarrow \pi/2^-} (\vec{\theta}, 2\phi) = s = \lim_{\phi\rightarrow \pi/2^+}(\underline{\vec{\theta}}, 2(\pi-\phi))$ por lo que esta fórmula describe una función continua.

Supongamos que $n $ es par. En este lenguaje, su pregunta es encontrar una homotopía entre $f$ y un mapa constante. Escribiremos esta homotopía como una composición de dos homotopías. La primera homotopía utiliza el hecho de que el mapa antipodal $\vec{\theta}\mapsto \underline{\vec{\theta}}$ es homotópica a la identidad porque $S^{n-1}$ es una esfera dimensional impar. Supongamos que $F(\vec{\theta},t)$ es una homotopía de este tipo. (Para $n=2$ puede utilizar $F(\theta,t) = \theta + t$ con $t\in[0,\pi]$ )

Afirmamos que $f_t:=\begin{cases}(\vec{\theta}, 2\phi) & \phi\in[0,\pi/2] \\ F(\underline{\vec{\theta}},t) , 2(\pi-\phi)) & \phi\in[\pi/2,\pi] \end{cases}$ es continua.

De hecho, el argumento es el mismo que para $f$ arriba: esto es claramente continuo lejos de $\phi = \pi/2$ . Y en $\phi = \pi/2$ ambas fórmulas se limitan a $s$ por lo que es continua en todas partes.

Al final de esta homotopía, obtenemos un nuevo mapa $f_1 = \begin{cases}(\vec{\theta}, 2\phi) & \phi\in[0,\pi/2] \\ (\vec{\theta} , 2(\pi-\phi)) & \phi\in[\pi/2,\pi] \end{cases}.$

Intuitivamente, este mapa envuelve $N$ todo el camino alrededor $S^n$ con un mapeo de lattitud decreciente hacia lattitudes aún más meridionales, luego envuelve $S$ alrededor de la esfera con una lattitud decreciente que se mueve hacia el norte.

Utilicemos una última homotopía para obtener el mapa constante.

La homotopía aquí es $G(\vec{\theta}, \phi, t) = \begin{cases}(\vec{\theta}, 2t\phi) & \phi\in[0,\pi/2] \\ (\vec{\theta} , 2t(\pi-\phi)) & \phi\in[\pi/2,\pi] \end{cases}.$ Una vez más, tenemos que comprobar que esto es continuo, y de nuevo, esto es obvio lejos de $\phi = \pi/2$ .

Pero cuando $\phi = \pi/2$ Tanto el mapa superior como el inferior envían $(\vec{\theta},\phi)$ a $(\vec{\theta}, \pi t)$ Así que $G$ es continua. Por último, basta con observar que $G(\vec{\theta}, \phi, 0) = (\vec{\theta},0) = n$ , por lo que es constante.

Answer 2

Considere $\Bbb Z/2$ -estructura celular invariable en $S^n$ (dos hemisferios, ..., dos hemiequipos, dos puntos), llámalo $X$ . Composición $X \to \Bbb RP^n/\Bbb RP^{n-1}$ contratos $(n-1)$ -esqueleto, por lo tanto factores a través de $X/X_{(n-1)} = S^n \vee S^n$ . Esas esferas se mapean con orientaciones opuestas si $n$ incluso y con el mismo si $n$ impar, porque las celdas superiores correspondientes de $X$ lo hizo mapeando en $\Bbb RP^n$ .