¿Por qué se utiliza el número de Euler como base para los logaritmos?

Question

¿Existe alguna propiedad especial de ' $e$ ¿' que lo hace adecuado para ser utilizado como base de logaritmos?

Además, ¿tiene el logaritmo natural alguna ventaja sobre el logaritmo común? No entiendo por qué hay que elegir un número irracional, ' $e$ ', para una base. ¿No es mucho más sencillo usar 10 como base?

Answer 1

La base 10 sería arbitraria, aunque es más útil para tener una idea del orden de magnitud de los números originales. La razón para elegir la base $e$ es que se puede definir $\ln$ naturalmente incluso sin elegir una base, por ejemplo como $$\ln x:=\int_1^x\frac{\mathrm dt}t$$ Otra ventaja (¿o quizás la misma?) es que es fácil de estimar $\ln x$ para números cercanos a $1$ pues tenemos $\ln(1+h)\approx h$ si $h$ es pequeño. Incluso la serie completa de Taylor para $\ln(1+x)$ es agradable: $\ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac14x^4\pm\ldots$ En particular, todos los coeficientes son agradables y racionales. Cuando se trabaja con cualquier otra base se tiene que llevar una constante irracional todo el tiempo, mientras que con el logaritmo natural, esta constante irracional es visible sólo cuando se escribe $\log_e$ en lugar de $\ln$ .

Answer 2

_{Se sugirió considerar esta cuestión como un duplicado de <a href="http://math.stackexchange.com/questions/797/whats-so-natural-about-the-base-of-natural-logarithms">¿Qué tiene de "natural" la base de los logaritmos naturales? </a>. Pero francamente, viendo la respuesta aceptada:}

Si sabes algo de álgebra lineal, aquí tienes una razón abstracta: $e^x$ es el único vector propio del valor propio $1$ de la derivada $D$ actuando, por ejemplo, en el espacio de funciones suaves sobre $\mathbb{R}$ .

se podría argumentar que alguien que entiende esta respuesta probablemente no habría formulado la pregunta en primer lugar. ( "Eigen... ¿qué?" )

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Para mí (como no matemático), la propiedad clave de este número es, geométricamente hablando, que la gráfica de $e^x$ está describiendo su propia pendiente . Intenté señalarlo en estas imágenes:

Un poco más formalmente, esto significa que $e$ es el único número que tiene la propiedad

$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$

que se puede ver cuando trazado de ambas funciones .

Algunas afirmaciones matemáticas de alto nivel (por ejemplo, que $e^x$ es este vector eigen...) son consecuencias de ello.

Answer 3

Históricamente, creo que fue porque era mucho más fácil de calcular.

¿Cómo se calcula $10^{4.32}$ ? Tal vez pueda aumentar $10^{432}$ Pero entonces, ¿cómo se extrae eso? $100^{th}$ ¿raíz? Tal vez uses el método de Newton o algo así, pero es un proceso largo, y no es "uniforme": hacer una tabla de valores de esta manera sería horrible.

Sin embargo, para aproximar una tabla de valores para $e^x$ es bastante fácil:

$\begin{align*} e^{0.1} &\approx \left((1+\frac{1}{10})^{10} \right)^{0.1}=1.1\\ e^{0.2} &\approx 1.1^2 = 1.21\\ e^{0.3} &\approx 1.1^3 = 1.331\\ \vdots \end{align*}$

Se puede mejorar la precisión sistemáticamente utilizando aproximaciones más finas, como $e^{0.01} \approx 1.01$ . Lo único que hay que hacer para generar la tabla es multiplicar (lo que para estas bases equivale a desplazar y sumar).

Napier utilizó $e^{0.00000001}$ para hacer su tabla de logaritmos. Manejar el error en los términos (que se hacen pequeños rápidamente, pero se suman en el transcurso de una tabla muy larga) fue muy poco trivial. Una vez que tuvo sus tablas de logaritmos, permitió realizar un gran número de cálculos con mayor facilidad (incluyendo la creación de herramientas como la regla de cálculo).