Comparando las magnitudes de expresiones de surds

Question

Recientemente he abordado algunas de las preguntas sobre matemáticas-desafío / matemáticas-aptitud documentos donde la tarea era ordenar diversas expresiones compone de surds (sin calculadora, obviamente).

Me encontré preguntándome si estaba confiando demasiado en conocer el valor numérico de algunos comunes surds, cuando un método más robusto estaba disponible (y que trabajaría en los casos más difíciles).

Por ejemplo, una pregunta que es el mayor de:

(a) $\sqrt{10}$
(b) $\sqrt2+\sqrt3$
(c) $5-\sqrt3$

En este caso, me basé en mi conocimiento que $\sqrt{10} \approx 3.16$ $\sqrt2\approx 1.41$ $\sqrt3 \approx 1.73$ (a) $\approx 3.16$, (b) $\approx ~3.14$ y (c) $\approx ~3.27$, de modo que la respuesta es (c).

Pero esto parecía poco elegante: yo sentía que no podría ser alguna forma de manipular la surd expresiones para hacer el pedido más explícito. Yo no puedo ver lo que podría ser, sin embargo (cuadratura todas las expresiones en realidad no ayuda).

Agradecería algunos puntos de vista: me estoy perdiendo un truco, o era esta pregunta en particular, simplemente la prueba de conocimiento de algunos valores comunes?

EDIT: después de la muy útil respuestas, que sin duda demostró que no fue muy satisfactoria y en general de la manera de acercarse a la pregunta original, ¿puedo preguntar acerca de otra versión de la pregunta que incluyó (d) $\sqrt[4]{101}$.

Cuando se aproxima la pregunta por aproximación, simplemente he observado que $\sqrt[4]{101}$ es sólo un poco mayor que $\sqrt{10}$, y por lo tanto todavía estaba claro para elegir (c) como la respuesta. Es allí cualquier manera elegante para extender la más robusta de métodos para manejar este caso?

Answer 1

Comparar$\sqrt{10}$ y$\sqrt2+\sqrt3$ es lo mismo que comparar$10$ y$(\sqrt2+\sqrt3)^2=5+2\sqrt6$. Eso es lo mismo que comparar$5$ y$2\sqrt6$. ¿Cuál de estos es más grande?

Del mismo modo, comparar$\sqrt{10}$ y$5-\sqrt3$ es lo mismo que comparar$10$ y$(5-\sqrt3)^2=28-10\sqrt3$. Eso es lo mismo que comparar$10\sqrt3$ y$18$. ¿Cuál de estos es más grande?

Answer 2

Usted puede utilizar:

(1) el hecho de que $f(x)=x^2$ es monótonamente creciente en función al $x\geq0$ y

(2) la media aritmética-media geométrica de la desigualdad de $\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}$, cuando se $a, b\geq0$. Por lo tanto, $$ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{2\cdot3}\leq5+2\frac{2+3}{2}=5+5=10=(\sqrt{10})^2 $$ Por lo tanto, usando (1), obtenemos $\sqrt{2}+\sqrt{3}\leq 10$. Me olvidé de este: $$ 5-\sqrt{3}=3+2-\sqrt{3}=3+\frac{1}{2+\sqrt{3}}\geq3+\frac{1}{2+2}=3.25 $$ Uno puede comprobar fácilmente que $(3+1/4)^2>10.5>10$. También se encuentra que $10.5^2>110>101$.

Entonces, la realización de argumento (1) dos veces, uno encuentra que las $5-\sqrt{3}>(101)^{1/4}$.

En consecuencia, $5-\sqrt{3}$ es el más grande número.