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Dado cualquier conjunto de $I$, tiene sentido hablar de "$I$-indexada secuencias".
No necesitamos hacer ningún extra supuestos en $I$ para que esto tenga sentido. Sin embargo, algunas de las características que podría equipar $I$ puede inducir una estructura adicional en $I$-indexada secuencias.
Por ejemplo, la elección de un orden total en $I$ nos permite hablar acerca de si un lugar en la secuencia viene antes o después de otro lugar. Bien-órdenes son comunes a considerar, porque se puede hacer de inducción transfinita más de un ordenado conjunto de índices.
La terminología de "secuencia" no es completamente clavado.
En el sentido más estricto, "una secuencia en $X$" es una función de $\mathbb N \to X$. En un sentido más flojo, $\mathbb N$ podría ser sustituido por otro, hacia arriba, sin límites contables de orden lineal, por cualquier contables de orden lineal, o incluso por cualquier orden lineal. En el sentido más amplio, puede referirse a cualquier función de $I \to X$ a partir de algún conjunto de índices $I$.
Si dices secuencia sin más contexto, espero que la definición más estricta; pero si hablamos de una $I$-secuencia, acepto que no importa qué tipo de conjunto de índices $I$ es.
Depende del contexto.
En la mayoría de los contextos, una secuencia que se entiende por defecto a significar un $\mathbb{N}$-indexado de la secuencia. Así que usted puede hablar acerca de por ejemplo un $\mathbb{Z}$-indexado de la secuencia, pero si alguien dice "una secuencia", sin especificar el conjunto de índices, que debe ser asumida hablando de $\mathbb{N}$-indexada secuencias.
En algunas áreas de las matemáticas, la convención es diferente. En la teoría de conjuntos, por ejemplo, secuencias de indexado por arbitraria ordinales son muy utilizados, y por lo tanto "una secuencia" puede ser utilizado para referirse a una secuencia de indexado por algunos ordinal, incluso si no se especifica explícitamente.
De manera más general: si ¿ especificar el dominio, ¿cómo puede ser arbitrario total del pedido, bien de orden, poset, ...? Bueno, no hay ninguna norma fija de definición de la secuencia de restringir el uso de este; una secuencia es sólo una función, y las circunstancias en las que uno llama a una función de una secuencia son sólo una cuestión de ámbito específico de la convención. $\mathbb{Z}$-indexada secuencias son ciertamente muy comúnmente utilizado; no me sorprendería escuchar la secuencia utilizada para funciones arbitrarias de los pedidos totales. Me gustaría ser un poco sorprendido al escuchar la secuencia utilizada para el posets, y muy sorprendido al oír que se utiliza para las funciones en un conjunto arbitrario sin orden especificado.
Que no es una secuencia, sino que es una red.
Definición de Un conjunto no vacío $A$ junto con una relación binaria $\le $ es dirigido establecer si $\le$ satisface
- $a \le a, \quad\forall a \in A$
- $a \le b \text{ and } b \le c \text{ implies } a \le c, \quad \forall a,b,c \in A$
- $\forall a,b \in A \,\exists c \in A \text{ such that } a\le c \text{ and } b \le c$
Definición Deje $(A, \le)$ ser dirigido conjunto y deje $X$ ser cualquier conjunto. Cualquier función de $f : A \to X$ se dice que es un netos en $X$.
Vemos que $\mathbb{Z}$ con su orden estándar $\le$ es un conjunto dirigido (y así es todo totalmente conjunto ordenado) por lo que la identidad de la función $\operatorname{id} :\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ es un netos en $\mathbb{Z}$.
Las secuencias son precisamente las redes con el dominio $(\mathbb{N}, \le)$.
Tenga en cuenta que el sector informal de la terminología " $S$-indexado de la secuencia", donde $S$ es sólo un conjunto, puede también ser utilizado para describir una función de $f : S \to X$.
