Prueba de una desigualdad usando geometría analítica

Question

Si $p,q,r$ son números reales e $0<p<q<r$, $$\frac pq +\frac qr +\frac rp >\frac qp +\frac rq +\frac pr$$

Es este un conocido de la desigualdad?

Mi prueba de que está basado en la geometría analítica:

Si se hace una gráfica de los puntos $P=(p,1/p)$, $Q=(q,1/q)$, $R=(r,1/r)$ en este orden, se obtiene los vértices de un triángulo circunscrito por una hipérbola equilátera $xy=1$ totalmente en el primer cuadrante (como todos los números de $p,q,r$ son positivos y debido a que una línea no puede interceptar una cónica en tres puntos). El área de este triángulo PQR puede ser dado por la siguiente fórmula: $$\frac 12 \begin {vmatrix} p & \frac 1p & 1 \\ q & \frac 1q & 1 \\ r & \frac 1r & 1 \\ \end {vmatrix}$$

Y como estas coordenadas se escriben en sentido antihorario en este determinante, tiene que ser positivo: $$\begin {vmatrix} p & \frac 1p & 1 \\ q & \frac 1q & 1 \\ r & \frac 1r & 1 \\ \end {vmatrix}>0$$

Desde que llegamos

$$\frac pq +\frac qr +\frac rp >\frac qp +\frac rq +\frac pr$$

Es esto una prueba de la correcta?

Hay otro, más simple prueba de esta desigualdad?

Answer 1

Poner $x={r\over q}>1$ y $y= {q\over p}>1$ así que tenemos que probar $${1\over x}+{1\over y} +xy >x+y+{1\over xy}$$ or $$x+y+x^2y^2>x^2y+y^2x+1$ $ o $$x^2y^2-xy(x+y)+(x+y)-1>0$ $

o $$(xy-1)(xy+1)-(x+y)(xy-1)>0$$ or $% $ $(xy-1)(xy-x-y+1)>0$

o $$(xy-1)(x-1)(y-1)>0$ $ lo cual es cierto.

Answer 2

Sólo una visión ligeramente distinta en su prueba: Si la función de $f: I \to \Bbb R$ es estrictamente convexa en el intervalo de $I \subset \Bbb R$ $p < q < r$ $I$ $$ f(p) < \frac{r-p}{r-p} \, f(p) + \frac{q-p}{r-p} \, f(r) \\ \iff (r-q) \, f(p) + (p-r) \, f(q) + (q-p) \, f(r) > 0 \quad (*) $$ La elección de $f(x) = \frac 1x$ da deseada de la desigualdad.

La conexión a la solución es que el $(*)$ puede ser escrito como $$ \begin {vmatrix} p & f(p) & 1 \\ q & f(q) & 1 \\ r & f(r) & 1 \\ \end {vmatrix}>0 \, , $$ es decir, el (orientado a) área del triángulo es positivo porque $f(x) = \frac 1x$ es estrictamente convexa.

Answer 3

Su inequalitiy es equavalent a $$- \left( q-r \right) \left( p-r \right) \left( p-q \right) >0$ $ y esto es cierto ya que tenemos $$0