Cuatro monedas con problema de reflotación?

Question

Me encontré con el siguiente problema hoy en día.

Flip cuatro monedas. Por cada cabeza, consigue $\$1$. Usted puede reflip una moneda después de los cuatro lanzamientos. Calcular los retornos esperados.

Sé que el valor esperado sin el tirón extra es $\$2$. However, I am unsure of how to condition on the extra flips. I am tempted to claim that having the reflip simply adds $\$\frac{1}{2}$ para cada caso, con las colas, ya que la única cosa que afecta a la reflip es si hay colas o no, pero mi instinto me dice que esto está mal. Yo soy también le dijo a la correcta devuelve es $\$\frac{79}{32}$ y no tengo idea de donde proviene. Podría alguien ayudarme por favor? Gracias!

Answer 1

Tu tentación es correcta y tu instinto está equivocado. Obtienes un$\frac12$% extra si tienes colas al menos una vez. La probabilidad de que no tenga cola para reflotar es$\frac1{16}$, por lo que obtiene un$\frac12\left(1-\frac1{16}\right)=\frac{15}{32}$% adicional. Esto se suma a la expectativa base de$2 = \frac{64}{32}$ da$\frac{79}{32}$.

Answer 2

La expectativa de los primeros 4 lanzamientos es de $ 2.

Expectativa de la quinta voltereta, la condición de que haya una cola en los primeros 4 volteos, es 0.5.

Expectativa de la quinta vuelta, condición en que no hay cola, es 0.

La probabilidad de que haya una cola en los primeros 4 intentos es de 15/16.

Expectativa total = 2 + 0.5 * (15/16) + 0 * (1/16) = 79/32

Answer 3

Deje$X_i=1$ si$i$ - th toss es head y$0$ de lo contrario.

La recompensa es$$\sum_{i=1}^4X_i + X_5\left( 1-\prod_{i=1}^4X_i\right)=\sum_{i=1}^5X_i-\prod_{i=1}^5X_i$ $

Por lo tanto

ps

Answer 4

Tu respuesta es$\frac {80}{32}$. El$\frac1 {32}$ es de donde los cuatro flips son cabezas.

Answer 5

Tu intestino está equivocado, como ya se señaló. Los posibles resultados del lanzamiento inicial son:

"4 cabezas" x 1

"3 cabezas" x 4

"2 cabezas" x 6

"1 cabeza" x 4

"0 cabezas" x 1

Esto da un rendimiento esperado de (4 + 12 + 12 + 4 + 0) / 16 = 2

Si agrega 0.5 a cada caso, excepto 4 cabezas, obtiene (4 + 14 + 15 + 6 + 0.5) / 16 = 79/32