Probar$\frac{1}{1-x} \circ \frac{1}{1-x} = 1 - \frac{1}{x}$ desde el punto de vista de una serie

Question

Es un elemental ejercicio en la escuela primaria álgebra que

$$ \frac{1}{1-\frac{1}{1-x}} = 1 - \frac{1}{x} $$

Sin embargo a partir de la serie punto de vista no es en absoluto evidente. Hay dos series diferentes expresiones para $\frac{1}{1-x}$ cuales son

$$ \sum_{k=0}^{\infty} x^k = 1 + x+ x^2 + ... \ |x| < 1 $$ $$ - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{x^k} = -\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} ... \ |x| > 1 $$

y tratando de componer los rendimientos de los problemas: (hay 4 casos a analizar aquí)

$$ 1+ (1+x+x^2 ... ) + (1 + x + x^2 + ...)^2 + ... $$

Esto lleva a que el coeficiente de volar, e incluso con el uso de los valores de la función zeta de renormalize infinitos conduce a una expresión que parece no tener sentido (o debería decir que es muy "difícil" para interpretar).

$$ 1 + (-\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} ... ) + (-\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} ...)^2 ... $$

en realidad simplifica la expresión correcta $1- \frac{1}{x}$ (de modo que la serie puede confirmar la identidad de: $|x|<1, 1 > |x-1|$)

$$ - \frac{1}{1 + x + x^2 ... } - \frac{1}{(1 + x + x^2 ... )^2 } ... $$

Es de nuevo intratable, sin hacer referencia a la serie geométrica de la fórmula.

$$ - \frac{1}{ - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} ... } - \frac{1}{(-\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} ... )^2} ... $$

Es aún más horrible (he bautizado a esta expresión Armónica Infierno).

Mi preocupación aquí es sólo 1 de estos 4 composiciones podría ser simplificado en el objetivo correcto de la expresión, la forma correcta de manipular a los otros 3 para producir la expresión de destino, después de todo no son específicos de dominio, el rango de combinaciones que me estoy perdiendo, cuando yo sólo considerar cualquiera de estos pares de serie (sin embargo, la expresión $1 - \frac{1}{x}$ es cierto a nivel mundial).

La motivación

Esto es parte de un juguete problema: la Acción de 3x3 invertible matrices en $\mathbb{C}$? cuando empecé a preguntarme si era posible encontrar una acción de matrices 3x3 en el plano complejo.

Mi programa de investigación fue la siguiente:

1. Interpretar las transformaciones de möbius como literalmente pares de laurent de la serie que aceptar una cuádruple de los parámetros de $a,b,c,d$ correspondiente a los elementos de un 2x2 matriz de rotación.

2. Demostrar la propiedad de acción (que componen estas series de los rendimientos de una nueva serie de la misma forma, con los parámetros de respeto de la multiplicación de la matriz 2x2), [esto es donde estoy atascado por lo tanto esta pregunta]

3. Mirar ahora, la construcción de la serie que respecto a la acción de la multiplicación de la matriz de 3x3, tal vez inspirado por la finalización de (2).

Answer 1

Para su problema con la alimentación de la serie para $\, f(x) := 1/(1-x), \, g(x) := 1-1/x, \,$ le gustaría a cada centro de energía de la serie sobre el mismo número cuando las funciones compuestas. En este caso, el centro común es $\, \omega, \,$una primitiva sexto de la raíz de la unidad porque $\, \omega = f(\omega) = g(\omega) \,$ es un punto fijo de tanto $\,f\,$ y $\,g.\,$ Así $\, y := x-\omega \,$ ser la variable local. Compruebe que los dos de la serie de expansiones $$ f(x) = \omega + \omega^2 y - y^2 - \omega y^3 -\omega^2 y^4 + y^5 + O(y^6) \, = \frac{\omega + \omega^2 y - y^2} {(1 + y^3)}. $$ $$ g(x) = \omega \omega y + y^2 + \omega^2 y^3 - \omega y^4 + y^5 + O(y^6) \, = \omega + \frac{y}{\omega(\omega+y)}. $$ El radio de convergencia de ambas series es $\,1\,$ centrada en $\, \omega \,$ e incluye $\, 0<x<1. \,$ Verificación por parte de la composición que $$ f(f(x)) = g(x), \, f(g(x)) = x, \, g(g(x)) = f(x). $$