Cualquier forma rectangular en un teclado numérico de la calculadora cuando dividido por 11 da un número entero. ¿Por qué?

Question

Me he encontrado con esta hecho hace mucho tiempo, pero todavía no puedo decir por qué está ocurriendo esto.

Dado que el estándar de calculadoras teclado numérico:

7 8 9
4 5 6
1 2 3

si de marcar cualquier forma rectangular, que va en ángulos rectos y cada forma consta de 4 puntos, entonces el número marcado es siempre divisible por 11 sin un resto.

Ejemplos de las formas: 1254, 3179, 2893, 8569, 2871, y así sucesivamente. No está permitido el uso de cero, solo dígitos 1..9.

ACTUALIZACIÓN: La parte de la siguiente pregunta resultó ser un error de mi parte porque yo no verificar lo que los Programadores de la calculadora estaba mostrando, y resultó que era el redondeo de los resultados. !!! Ver la aceptación respuesta para un interesante seguimiento a esta, que realmente se expande el caso de uso para un trabajo hexadecimal "teclado", y las otras respuestas para incluso más diversas ideas interesantes, descubrir los diferentes aspectos de este problema !!!

La misma regla también funciona incluso para el Programador de la calculadora de diseño en MS Windows 10, que se parece a esto:

A B 7 8 9
C D 4 5 6
E F 1 2 3

Todas válidas formas rectangulares, por ejemplo, A85C, E25C, 39BF, y así sucesivamente, siendo dividido por 11 todavía dar un resultado entero!

Inicialmente estaba pensando que es sólo de alguna manera vinculado a la selección de los dígitos de los trillizos y ser solo otra peculiaridad de la base decimal y número 11 y comencé a mirar de esta manera, pero el descubrimiento de que funciona para el hexadecimal base e incluso con la hexagonal de la parte de la distribución del teclado no obedecer exactamente con el patrón de la parte decimal de diseño, estoy perdido.

¿Qué ley es divertido regla?

Answer 1

Ya que están preocupados sólo con patrones rectangulares, tiene cuatro números de un dígito en una cierta base $l$, y desea comprobar la divisibilidad por $11$ donde $11 = l+1$.

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Cuando usted tiene un número de cuatro dígitos en base $l$, escribe como $al^3 + bl^2 + cl + d$ donde $0 \leq a,b,c,d < l$. (Esto representa el $l$a base de número de $\overline{abcd}$). Ahora, tenemos un lindo hecho : $l^3 + 1$ es un múltiplo de a $l+1$, ya que el $l^3+1 = (l^2 - l + 1)(l+1)$. Además, $l^2 - 1 = (l-1)(l+1)$. Por lo tanto, hacemos la siguiente reescribir : $$ al^3 + bl^2 + cl + d = a(l^3 + 1) + b(l^2 - 1) + c(l+1) - (a - b + c - d) \\ = (l+1) (...) + (b+d)-(a+c)) $$

donde $l+1 = 11$ base $l$.

Por lo tanto, el resto al $\overline{abcd}$ se divide por $11$$(b+d) - (a+c)$.

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Cuando se consideran cuatro números ($1 \to 9$, ya que he encontrado problemas en las letras hex) en un rectángulo y la forma de un número de cuatro dígitos de ellos ahora, puede usted ver por qué este número $(b+d) - (a+c)$ es en el hecho de cero, por lo tanto, dar el resultado deseado?

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Ahora que hemos señalado este patrón rectangular, he señalado más arriba que algunos contraejemplos no existía para el MS - diseño de números hexadecimales. El problema no era bastante simple : la "matriz" de las entradas no satisfacen la propiedad de que $a+d = b+c$ $a,b,c,d$ va CW/CCW alrededor de cualquier $2\times 2$ subrectangle de las entradas de la matriz.

Si $l-1$ no es un número primo, entonces realmente podemos organizar una "matriz" de $l$ entradas que no es estrictamente de columna o de fila, pero satisface esta "rectángulo de la propiedad", como se le puede llamar. Para esto, escriba $l-1 = ab$ donde $a,b \neq 1$, y organizar un $a \times b$ matriz de entradas, que nos llene de la siguiente manera : comienza con $1$ en la parte inferior de la esquina, continuar hacia la derecha y relleno de $2,3,...$ hasta llegar a la final, a continuación, volver a la izquierda de la fila de arriba y rellenar el siguiente número, ahora repita hasta que llene toda la matriz.

Para $10$, este procedimiento produce el teclado convencional patrón. Para $15 = 5 \times 3$, que podría producir $$ \begin{pmatrix} B&C &D & E& F\\ 6&7&8&9&A\\ 1&2&3&4&5 \\ \end{pmatrix} $$

que de hecho va a satisfacer la propiedad de que cualquier rectángulo ha $11$ en la base como divisor. Por ejemplo, $A8DF$, $1496$ y $CE97$ son todos los múltiplos de $11$.

Tenga en cuenta que más es verdad : de hecho, cada parallellogram , leer CW o CCW, conduce a un múltiplo de once.

Answer 2

Iniciar a los degenerados rectángulo 1111, un múltiplo de 11.

Cada vez que se mueve de un lado del rectángulo por un paso en una de las 4 direcciones (dejando el otro lado en su lugar), agregar o quitar uno de estos números (ceros a la izquierda añadido para mayor claridad):

• 0011 (horizontal) o 0033 (verticalmente)
• 0110 (horiz.) o 0330 (vert.)
• 1100 o 3300
• 1001 o 3003

que son todos los múltiplos de 11 (obviamente para las tres primeras líneas; 1001 = 11 * 91).

La adición de un número de conserva de ser un múltiplo de 11.

De esta manera desde los degenerados rectángulo 1111 puede llegar a cualquier otro rectángulo (alineados con el teclado numérico de orientación), que demostrar que todo múltiplo de 11.

Answer 3

Vamos a denotar:

• $d_1$: el de la izquierda-inferior dígitos de un rectángulo
• $h$: es la distancia horizontal (diferencia) a la siguiente dígito a la derecha
• $v$: es la distancia vertical (diferencia) para el dígito anterior $d_1$

A continuación, el número introducido $n$ comenzando en la parte inferior izquierda se va hacia la izquierda tiene los dígitos $$n = d_1d_2d_3d_4$$

con

• $d_2 = d_1 + h$
• $d_3 = d_1 + h + v$
• $d_4 = d_1 + v$

Ahora, usamos el hecho de que un número entero es divisible por $11$ ($n \equiv 0 \mbox{ mod } 11$) si y sólo si se trata de la alternancia de suma de dígitos es igual a $0$: $$d_1 - (d_1+h) + (d_1+h+v) - (d_1+v) = 0 \Rightarrow n \equiv 0 \mbox{ mod } 11$$

Tenga en cuenta que la alternancia de suma de dígitos no cambia con permutaciones cíclicas de los dígitos o con el intento de revertir el orden de los dígitos (lo que significa que de las agujas del reloj a lo largo del rectángulo en el teclado numérico).

Answer 4

Voy a probar un poco más:

Si a B C D es cualquier (posiblemente degenerado) paralelogramo dibujado en el teclado numérico (por ejemplo, todos los rectángulos alineados como en el anterior, como 1254 o 1364, pero también de los no alineados, como 2684 y otros paralelogramos como 1298....) a continuación, el número ABCD es un múltiplo de 11.

Prueba:

Si Un dígito tiene coordenadas $(a1, a2)$ en el teclado numérico, B ha $(b1, b2)$, C $(c1, c2)$, D $(d1, d2)$ entonces el valor de a es A = $1 + a1 + 3 a2$, y lo mismo para B, C, D.

El paralelogramo condición implica que el vector AB = vector de DC: $$(b1, b2) - (a1, a2) = (c1, c2) - (d1, d2)$$ that is $b1 - a1 = c1 - d1$ and $b2 - a2 = c2 - d2$.

Por lo tanto,$$(1 + b1 + 3 b2) - (1 + a1 + 3 a2) = (1 + c1 + 3 c2) - (1 + d1 + 3 d2)$$, que es exactamente significa que en el plazo de los dígitos de los valores que

B - A = C + D,

de forma equivalente, de D - C + B - A = 0.

Puesto que el resto de ABCD dividido por 11 es el mismo que el resto de los D - C + B - a, dividido por 11 (regla de la alternativa sumas demostrado más adelante), esto demuestra que el 11 divide ABCD.

(La regla de la alternativa sumas viene del hecho de que $10 \equiv -1$ mod 11; por lo tanto $10^n \equiv (-1)^n$ mod 11 y "ABCD" = 1000 + 100 B + 10 C + D $\equiv$ - a + B - C + D mod 11.)

Answer 5

Tenga en cuenta que cualquier número de cuatro cifras de forma rectangular puede expresarse en forma de matriz de $2\times 2$: $$\begin{pmatrix} a&b\ c&d\end{pmatrix} \ a = \ {8\ 4,5,7,}; b = \ {5,6,8, 9}, c = \ {1,2,4, 5}; d={2,3,5,6}.$$ divisibilidad de $\overline{xyzw}$ $11$ es: $$\overline{xyzw}\equiv (x+z)-(y+w)\equiv 0 \pmod{11}.$ $ tenga en cuenta que para todos los números adecuados: %#% $ de #% sigue el resultado.