Bueno, la semana pasada leí una pregunta y yo realmente no saben qué hacer. He intentado todo lo que se me ha ocurrido, pero no parece ayudarme. Así que, si pueden ayudarme, se lo agradecería. No espero respuestas, sólo pistas - no quiero ver respuestas a estas alturas.
Esa es la pregunta (es de la Olimpiada Matemática Internacional. La leí traducida al portugués, pero no encontré la original. Así que pruebe para volver a traducir al inglés):
Sean tres números positivos $x$ , $y$ y $z$ $$ $ \mathbb{R} $, and $ xyz 1$. Demostrar que:
$$\frac{x^5 - x^2}{x^5 + y^2 + z^2} + \frac{y^5 - y^2}{y^5 + x^2 + z^2} + \frac{z^5 - z^2}{z^5 + x^2 + y^2} \geq 0.$$
Rápido, pensé:
$x^5 - x^2 = x^2(x - 1)(x^2 + x + 1)$ ;
$y^5 - y^2 = y^2(y - 1)(y^2 + y + 1)$ ;
$z^5 - z^2 = z^2(z - 1)(z^2 + z + 1)$ .
Pero no me parece realmente interesante. Creo que podría ser más que esto - una visión genial. Y también, encontrar el LCM parece ser bruteforcing. No hay problemas con eso, pero creo que puede ser más simple que eso.
(Lo etiqueté como tarea, pero no es exactamente una tarea. He encontrado esta pregunta por mi cuenta).
Después de todo eso, tengo que daros las gracias a todos. Perdonad si he cometido (m)algún error de inglés, estoy muy cansado y lo he escrito lo más rápido que he podido para obtener vuestras respuestas.
Gracias.
