Producto tensor de dos paquetes de Mobius

Question

Considere el paquete de Möbius$p : M \longrightarrow S^1$ que es el paquete de líneas canónicas sobre$\mathbb{R}\text{P}^1 \simeq S^1$. He podido mostrar que$M \oplus M$ es el paquete trivial y ahora quiero determinar el paquete$M \otimes M \longrightarrow S^1$. Estaba pensando en usar la propiedad universal del producto tensor, es decir, dado que tenemos$M \oplus M \longrightarrow S^1$, sabemos que este mapa tiene en cuenta a través de$$M \oplus M \longrightarrow M \otimes M \longrightarrow S^1$$ But I haven't been able to get any further, even after noting that the map $ M \ oplus M \ longrightarrow S ^ 1$ is defined by $ (x, x) \ longmapsto x $.

Answer 1

Voy a probar algo más general. Para cualquier línea real bundle $p:E\rightarrow B$ donde $B$ es paracompact y Hausdorff, el paquete de $E\otimes E\rightarrow B$ es trivial. Recuerdo esto como un ejercicio de Milnor y Stasheff del libro Característico de las Clases. Está en la sección donde se discuten las operaciones sobre el vector de paquetes. Usted necesita paracompact y Hausdorff con el fin de construir una métrica Euclidiana en el paquete. Esta condición significa que usted tiene las particiones de la unidad subordinada a una apertura de la tapa, que permite realizar locales cálculos globales.

Hay una degenerada positiva definida forma bilineal definida en las fibras del haz ( una métrica Euclidiana), que varía continuamente. Voy a hacer esto en todos los casos. Deje $p:E\rightarrow B$ ser un real $n$-plano de paquete a través de una paracompact espacio de Hausdorff $B$. Esto significa que para cada una de las $x\in B$ hay un abrir vecindario $U_x$ y un mapa de la $F_x:U\times \mathbb{R}^n\rightarrow p^{-1}(U)$ que es un homeomorphism, y es un isomorfismo lineal restringido a cada fibra, por lo que si $\pi_1:U\times \mathbb{R}^n$ es la proyección sobre el primer factor, a continuación,$p\circ F_x=\pi_1$. Deje $\{U_x\}_{x\in B}$ ser la apertura de la tapa de $B$ por estos barrios. Hay una partición de la unidad $\rho_{\beta}:B\rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ que está subordinado a esta cubierta. En específico, el apoyo de la $\rho_{\beta}$ es localmente finito y para cada una de las $\beta$ hay$x\in B$, de modo que $supp(\rho_{\beta})\subset U_x$, e $\sum_{\beta}\rho_{\beta}=1$. Deje $$\cdot_x:U_x\times \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$$ ser el estándar innerproduct en las fibras, ( producto escalar).

La fijación de $y\in U_x$, $$\cdot_x:\{y\}\times \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$$ is a positive definite, symmetric bilinear form. Pushing this forward using $F_x$ on each $p^{-1}(U_x)$ we get a positive definite bilinear form $B_x$ on the fibers of $E$ lying over $U_x$, which is continuous in the sense that if you apply it to a pair of nonvanishing continuous sections you get a continuous function from $U_x$ to $\mathbb{R}$.

Más específicamente si $v,w\in p^{-1}(y)$ $y\in U_x$ definir $B(v,w)=F_x^{-1}(v)\cdot F_x^{-1}(w)$.

Aquí es el Axioma de la elección de la parte. Para cada una de las $\beta$ elija $U_x$, de modo que $supp(\rho_{\beta})\subset U_x$, y utilice esta opción para definir un global definida no negativa forma bilineal $B_{\beta}$ sobre las fibras de $p:E\rightarrow B$ por dejar que se $\rho_{\beta}B_x$ $y\in supp(\rho_{\beta})$ y ser el cero de emparejamiento fuera de $supp(\rho_{\beta})$. Esto significa que $B_{\beta}$ es también continua. Deje $B=\sum_{\beta}B_{\beta}$. Desde el apoyo de la $\rho_{\beta}$ es localmente finito, en cualquier punto de que sólo sumando un número finito distinto de cero maridajes, así que tiene sentido. También desde el apoyo de la $\beta$ es localmente finito, $B$ es continua. Ya no negativo de la suma de no negativo de formas bilineales es no negativa, y dado que en cada una de las $y\in B$ hay$\beta$, de modo que $y\in supp(\rho_{\beta})$ el emparejamiento es positiva definida. Eso significa que $B$ es un continuo Euclidiano métrica en $E$.

Tal vez es un buen momento para hacer una pausa y tenga en cuenta que la construcción anterior realmente depende del hecho de que estamos utilizando un real $n$-plano de conjunto. El corazón del argumento es que si $B_1$ $B_2$ es positiva definida formas bilineales y $\lambda_1,\lambda_2>0$ $\lambda_1B_1+\lambda_2B_2$ es positiva definida forma bilineal. Si el paquete tenía complejo de fibras, la noción de positiva definida no tiene sentido, como la linealidad en los factores que significa la vinculación toma valores complejos. Por ejemplo, el canónica de la línea de paquete de $\gamma \rightarrow \mathbb{C}P(1)$ ha trivial tensor de la plaza.

Si un real $n$-avión paquete tiene una métrica Euclidiana no es un paquete de isomorfismo entre el $p:E\rightarrow B$ $p:E^*\rightarrow B$ $n$- plano de lote cuyas fibras son de doble a las fibras de $E$. Cada vector $v\in p^{-1}(x)$ en una fibra define una función lineal en $p^{-1}(x)$$B(v,\ )$.

Esto significa que si $p:E\rightarrow B$ es una línea de paquete a través de una paracompact espacio de Hausdorff, entonces es isomorfo a la doble paquete de $p_1:E^*\rightarrow B$. Por eso, $E\otimes E=E\otimes E^*$. Ahora vamos a utilizar la propiedad especial de que la dimensión del producto tensor de dos espacios vectoriales es el producto de las dimensiones de los dos espacios. Esto significa que $E\otimes E=E\otimes E^*$ es una línea de paquete. Además, el producto tensor de un espacio vectorial con su doble es canónicamente isomorfo a los lineales de los mapas del espacio vectorial a sí mismo. Deje $Lin(E,E)\rightarrow B$ ser el paquete cuya fibra a $x\in B$ es el lineal mapas de $p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(x)$. Este grupo es isomorfo a $E\otimes E^*$. Hay un nonvanishing sección de esta línea de paquete dada por el mapa de identidad. Por lo tanto, $L(E,E)\rightarrow B$ es trivial. Como consecuencia de ello $E\otimes E$ es trivial.

La restricción para el caso de que $B=S^1$ $E=M$ esto contesta a tu pregunta.

De hecho, más es cierto. El conjunto de clases de equivalencia de la línea real paquetes a través de una paracompact espacio de Hausdorff es un grupo bajo el tensor de producto, donde el inverso de cualquier línea de paquete es el mismo.

Si usted mira en Milnor y Stasheff del libro "la Característica de las Clases de" usted encontrará los detalles acerca de lo que estoy diciendo.

Answer 2

Dada una línea$l \in \Bbb P^1(\Bbb R)$, hay dos elementos$u,v \in l$ que también están en el círculo unitario, y en$l \otimes l$,$u \otimes u = (-v) \otimes (-v) = -(-(v \otimes v)) = v \otimes v$.

Como este resultado no depende de cómo elija$u$ y$v$, el mapa$l \mapsto u \otimes u \in l \otimes l$ es continuo porque puede cubrir$\Bbb P^1(\Bbb R)$ con conjuntos abiertos pequeños donde puede elegir$u$ continuamente.

Esto le da una sección no nula de novación de$M \otimes M$, por lo que$M$ es el paquete trivial.