Regularidad interna de los conjuntos mensurables de Lebesgue

Question

Este es un ejercicio en análisis real:

Permita que$E\subset{\Bbb R}^d$ sea Lebesgue mensurable. Muestre que $$ m (E) = \ sup \ {m (K): K \ subconjunto E, K \ text {compact} \}. $$

Cuando$E$ está limitado, esto se puede hacer con la siguiente proposición:

$E\subset{\Bbb R}^d$ es Lebesgue mensurable si y solo si por cada$\varepsilon>0$, uno puede encontrar un conjunto cerrado$F$ contenido en$E$ con$m^*(E\setminus F)\leq\varepsilon$.

¿Cómo puedo lidiar con el caso de que$E$ no esté limitado?

Answer 1

Te he hecho caso al $E$ está acotada. Al $E$ es ilimitado, hay dos casos:

1. $m(E)=+\infty$
2. $m(E)<+\infty$

Ahora vamos a manejar con el primer caso. Considerar cerrado el balón en ${\Bbb R}^d$ $A_m=\{x\in{\Bbb R}^d: |x|\leq m\}$. Entonces $$ E=\cup_{m=1}^{\infty}E_m $$ con $E_m=E\cap A_m$, e $E_1\subset E_2\subset\cdots\subset{\Bbb R}^d$. Por el teorema de convergencia monótona para medir los conjuntos, $$ \lim_{n\to\infty}m(E_n)=m(E)=+\infty. $$ Tenga en cuenta que desde $E_m$ es acotado, por el caso que has hecho, por cada $m$, tenemos un conjunto compacto $K_m\subset E_m\subset E$ tal que $m(K_m)+1\geq m(E_m)\to\infty$. Por lo tanto $$\sup\{m(K):K\subset E,K\text{compact}\}=+\infty=m(E).$$

Supongamos ahora que $m(E)<+\infty$. Para cualquier $\varepsilon>0$, se puede elegir $N$ tal que $$ m(E)\leq m(E_N)+\varepsilon/2. $$ También tenemos un conjunto compacto $K\subset E_N\subset E$ con $$ m(E_N)\leq m(K)+\varepsilon/2 $$ desde $E_N$ está acotada. De ello se sigue que $$ m(E)\leq m(K)+\varepsilon. $$ Hemos terminado.

Answer 2

El método estándar para lidiar con la ilimitada caso es hacer algo inteligente que implican epsilon y los poderes de $1/2$. En tu caso yo sugeriría dejando $A_i=B(0,i)\setminus B(0,i-1)$. A continuación, establezca $E_n=A_n \cap E$ y encontrar un " $F_n$ tal que $m^\ast(E_n \setminus F_n)\leq \varepsilon/2^n$. Luego de tomar los sindicatos deben darle lo que quiere.

Edit: Hay un poco más de sutileza que originalmente me di cuenta. Hay dos casos $m(E)$ es finito y $m(E)$ es infinito. Si $m(E)$ es finito, a continuación, observe que

$$m(E)=\sum_{n=1}^\infty m(E_n)$$

así podemos encontrar algunos de $N$ tal que

$$\sum_{n=N}^\infty m(E_n) < \varepsilon/2.$$ De lo que puede manejar $\bigcup_{i=1}^N E_n$ utilizando el delimitada caso. En el caso de que $m(E)$ es finito recogemos nuestros $F_n$ adecuadamente y deje $F$ ser su unión. Ahora $F$ no es compacto, pero sabemos que

$$m(E \setminus F) < \varepsilon.$$ Además, cada finito de la unión de la $F_n$ es compacto y

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \bigcup_{i=1}^n F_i=F$$ en particular, $m(\bigcup_{i=1}^n F_i)$ es ilimitado para nuestros deseado sup infinte.