Por una recta aplicación de la selección lema, $|f'(0)|\le1-e^{-2}$. Sin embargo, el hecho de que $f(z)\ne0$ arroja una llave en la búsqueda de una mejor cota superior. Un límite inferior en el supremum se puede observar en la solución de $\varphi(z)=\exp\big(\!\frac{z-1}{z+1}\!\big)$, que satisface $\varphi(0)=e^{-1}$, $\varphi(1)=1$, y tiene una singularidad esencial en a $z=-1$, e $\varphi'(0)=2/e$, así que esto demuestra que $\sup_f|f'(0)|\ge2/e$. Todavía hay una brecha entre el$2/e$$1-e^{-2}$, aunque, por lo que todavía hay trabajo por hacer.
Sin embargo, podemos usar el mismo truco utilizado por Twiceler a continuación, y considere la función $F(z)$ definido por $f=\varphi\circ F$. Desde $f(z)\ne0$, es la exponencial de una analítica de la función, y la transformación de Möbius es invertible, así que esta $F$ debe existir. (Un poco más de detalle en este paso: Por el factor de Weierstrass teorema, si $f$ es distinto de cero, entonces a $f(z)=e^{g(z)}$ algunos $g$. Por lo tanto, si definimos $F(z):=\frac{1+g(z)}{1-g(z)}$,$f(z)=\exp\big(\!\frac{F(z)-1}{F(z)+1}\!\big)=\varphi(F(z))$.) Entonces
$$\begin{align}
f(0)=\exp\bigg(\!\frac{F(0)-1}{F(0)+1}\!\bigg)=e^{-1}&\Rightarrow F(0):=c_n=\frac{i\pi n}{1-i\pi n}\Rightarrow |c_n|^2=1-\big(1+(n\pi)^2\big)^{-1} \\
&\Rightarrow \varphi'(c_n)=\frac2e(1-i\pi n)^2\Rightarrow |\varphi'(c_n)|=\frac2e\big(1+(n\pi)^2\big)
\end{align}$$
y así, mediante la selección lema, $|f'(0)|=|\varphi'(c_n)F'(0)|\le|\varphi'(c_n)|\cdot(1-|c_n|^2)=2/e$. (Esto demuestra que $\sup_f|f'(0)|=2/e$, e $\varphi$ satura el obligado.) Por otra parte, si el obligado está saturado, entonces $F$ es una transformación de Möbius que conserva el círculo unidad, es decir, $F(z)=\theta\dfrac{c_n+\theta z}{\theta-\overline{c_n}z}$ para unimodular $\theta$, por lo que
$$f(z)=\exp\!\bigg[\!\!\frac{c_n+\theta z-(1-\overline{c_n}\theta z)}{c_n+\theta z+(1-\overline{c_n}\theta z)}\!\!\bigg]
=\exp\!\bigg[\!\!\frac{(1-\pi)\theta z-(2n^2\pi^2\pi+1)}{(1+\pi)+(2n^2\pi^2+\pi+1)\theta z}\!\!\bigg],$$
donde$|\theta|=1$$n\in\mathbb Z$.
Algunos comentarios explicativos: la moraleja de La historia es que si tenemos que evitar que cero, podemos transición desde el problema de encontrar un cero de la función $f:\mathbb D\to\mathbb D-\{0\}$ a una función $g:\mathbb D\to\{x\in\mathbb C:\operatorname{Re}x<0\}$ cuyo rango es de la mitad izquierda del plano-(esto es para que $|e^g|<1$), y a través de una transformación de Möbius similar a la de Cayley de transformación, podemos trazar un mapa que van de regreso a $\mathbb D$ para obtener una función de $F:\mathbb D\to\mathbb D$ (nota que ya no hay agujeros en el rango), a la que podemos aplicar Twiceler del análisis usando la selección del lema.
Aunque he definido $F$ través $f=\varphi\circ F$, he tenido cuidado de no decir $F:=\varphi^{-1}\circ f$, debido a $\varphi$ no es inyectiva, y de hecho lleva en cada punto en $\mathbb D-\{0\}$ infinitamente muchas veces (como en el enfoque de $z=-1$ desde diferentes direcciones). En particular, el valor de $\varphi(z)=e^{-1}$ ocurre en un número infinito de puntos, el índice es $\{c_n\}_{-\infty}^\infty$, lo $f(0)=e^{-1}\Rightarrow g(0)=-1+2i\pi n\Rightarrow F(0)=\frac{i\pi n}{1-i\pi n}:=c_n$. Pero después de esto, la selección lema se aplica como normal en $F$, lo $|F'(0)|\le1-|c_n|^2=1/(1+n^2\pi^2)\Rightarrow |f'(0)|\le2/e$.
La pregunta que queda es ¿cómo caracterizar las soluciones que saturan la desigualdad. El álgebra no es divertido, así que he mostrado aquí la solución, pero el punto es que todas las soluciones son de la forma $\varphi\circ F$ donde $F$ es una transformación de Möbius que conserva el círculo unidad y satisface $F(0)=c_n$, por lo que el $f(0)=e^{-1}$ está satisfecho.
