¿Dónde está mi error al usar el teorema de Banach para$x^2 - 2 = 0$?

Question

Considere el ejemplo$x^2 - 2 = 0$. Puedo reescribir, así que obtengo$x^2 + x - 2 = x$. Si defino$\phi(x) = x^2 + x - 2$, necesito resolver$\phi(x) = x$. $\phi$ es Lipschitz-continuo, ya que es diferenciable. En$[-\frac34,-\frac14]$ tenemos, usando el teorema del valor medio para$a,b\in[-\frac34,-\frac14]$$$ \phi(b) - \phi(a) = \phi'(\xi) (b-a).$ $ Dado que$\phi'(\xi) = 2\xi + 1$ y$|\phi'(\xi)| < 1$ para$\xi\in[-\frac34,-\frac14]$,$\phi$ es una contracción y con el teorema de Banach, tiene que haber un$\tilde x\in[-\frac34,-\frac14]$ con$\phi(\tilde x) = \tilde x$, por lo tanto,$x^2 - 2 = 0$ tiene que tener una solución en$[-\frac34,-\frac14]$, que no es así. ¿Dónde está mi error?

Answer 1

Para aplicar el teorema de Banach sobre$[-\frac34,-\frac14]$ debemos tener

$\phi([-\frac34,-\frac14]) \subseteq [-\frac34,-\frac14]$.

Pero este no es el caso. Considerar $\phi(-\frac12)$.

Answer 2

Para aplicar el teorema del punto fijo de Banach, necesitas que cumplas$\phi : X \rightarrow X$. En el ejemplo que proporciona, eligió el intervalo de tal manera que este no es el caso y el rango de$\phi$ sobre$X$ no está contenido en$X$.