Resolviendo$x^3+y^3=x^2y^2+1$ en enteros no negativos

Question

Quería resolver $x^3+y^3=x^2y^2+1$ en enteros no negativos.

Primero me puse a $a=x+y$ $b=xy$ conseguir $b^2+3ab+1=a^3$. Vista como una ecuación cuadrática en $b$, el discriminante = $4a^3+9a^2-4$, que debe ser un cuadrado perfecto.

En segundo lugar, la reorganización del cuadrática en $b$ obtenemos $4a^3+9a^2-4=(2b+3a)^2$.

Así, el discriminante es siempre un cuadrado perfecto. Por lo tanto, tenemos (fórmula cuadrática):

$b=\frac{-3a\pm (2b+3b)}{2}$ $b\in \{b,-\frac{3a}{2}\}$.

Desde que desee $a,b\ge 0$, la única posibilidad es $a=b=0$ dar $x=y=0$.

Esta es la única solución.

Nota: yo no estaba seguro de si funciona, nunca lo he intentado de esta manera antes.

Gracias!

Answer 1

La introducción de las variables$a$ y$b$ conduce a la condición$$4a^3+9a^2-4=(2b+3a)^2\ ,$ $, lo que implica que$$4a^3+9a^2-4$ $ tiene que ser un cuadrado perfecto. Una búsqueda rápida en la computadora ($|a|\leq 10^6$) produjo las soluciones$$a=-2,\quad-1,\quad1,\quad 2,\quad 25\ .$ $. Este debería ser un material con el que trabajar.

(La lógica en la segunda mitad de su argumento es circular.)

Answer 2

Creo que el siguiente hecho ha sido violado:

En la ecuación cuadrática, f (X) = 0, su discriminante ($\triangle$) debería estar libre de X.

Está bien tener$\triangle = 4a^3 + 9a^2 – 4$, pero reescribirlo como$(2b + 3a)^2$ y usarlo para resolver f (b) = 0 no está permitido.