¿Es este un intento válido en la Hipótesis de Riemann?

Question

De Marcus Du Sautoy, del libro "La música de los números primos", no es un método de búsqueda de una muy larga lista de N números consecutivos que no son primos. e.g $101!+2, 101!+3,...,101!+101$ a todos los que no son primos $(N=100)$. En general $(N+1)!+2$ $(N+1)!+N+1$no son números primos.

Esto significa $\pi((N+1)!+1)$ $\pi((N+1)!+N+1)$es una línea plana en la gráfica de $\pi(x)$ todo el tiempo N es.

Los principales argumentos de este intento en la Hipótesis de Riemann se basa en

1. Un equivalente a la Hipótesis de Riemann, que establece que $$|\text{Li}(x)-\pi(x)|\le c\sqrt{x}\ln x$$ i.e. $Li(x)$ is a good approximation of $\pi(x)$ *1
2. La idea de que si Li($x$) es una mala aproximación de $\pi(x)$, entonces cuando un inimaginablemente extendida largo de la línea plana de $\pi(x)$ se produce luego Li($x$) en un momento dejan de ser una buena aproximación.

En adelante vamos a $\beta$ = (N+1)! y de ello se sigue que $\beta + 1$ es el comienzo de nuestra línea plana

Nos gustaría, en primer lugar considerar la $$\text{Li}(\beta+1) > \pi(\beta+1).$$ {1} Dibujo de un boceto a ti mismo más probable es que ayuda a entender los pasos siguientes. Esperamos demostrar que $$\text{Li}(\beta+n) - \pi(\beta+n) \le c\sqrt{\beta+n}\ln(\beta+n) (1) $$ where $n$ is any integer $\le N+1$

Asimismo, hemos de suponer que $$\text{Li}(\beta+1) - \pi(\beta+1) \le c\sqrt{\beta+1}\ln(\beta+1)$$ es decir el principio de nuestra línea plana y por lo que esta es una suposición razonable como nos están diciendo que la hipótesis de Riemann es cierto, hasta ahora. Luego de considerar y asumir (como en la inducción) $$\text{Li}(\beta+k) - \pi(\beta+k) \le c\sqrt{\beta+k}\ln(\beta+k) (2)$$ Para $n = k+1 $ $$\text{Li}(\beta+k+1) - \pi(\beta+k+1) = \text{Li}(\beta+k) - \pi(\beta+k) +(\text{Li}(\beta+k+1) - \text{Li}(\beta+k)) (3) $$note: $\pi(\beta+k+1) = \pi(\beta+k)$ como todavía estamos en la línea plana de la región.

Recordando la $\beta =(N+1)!$ Si hacemos N lo suficientemente grande como $$\text{Li}(\beta +k+1)-\text{Li}(\beta+k) \approx 0$$ Por lo tanto, es seguro decir que $$\text{Li}(\beta+k+1) - \pi(\beta+k+1) \leq c\sqrt{\beta+k+1}\ln(\beta+k+1)$$The worst case is that $\texto{Li}(\beta+k) - \pi(\beta+k) = c\sqrt{\beta+k}ln(\beta+k)$ que usando (3) lo que implica $$\text{Li}(\beta+k+1) - \text{Li}(\beta+k) \leq c\sqrt{\beta+k+1}\ln(\beta+k+1) - c\sqrt{\beta+k}\ln(\beta+k)$$ Sin embargo ambos lados tienden a cero para grandes $N$

Así que tal vez es justo concluir que si (1) es verdadera para $n=k+1$ también es cierto para n=k+1 y como hemos empezado diciendo que era cierto por $n=1$ debe ser también verdad para $n \leq N+1$

Si $$\text{Li}(\beta+1) = \pi(\beta+1) $$ {2} entonces el argumento es el mismo que el anterior

Sin embargo lo que si $$\pi(\beta+1) > \text{Li}(\beta+1) $$ {3} Aunque como podemos hacer $N$ tan grande como queremos, entonces podemos estar seguros de Li($x$) eventualmente cruz $\pi(x)$ y, a continuación, podemos aplicar un argumento para ambos {1} y {2} desde el punto donde se cruzan las

Finalmente, volviendo a nuestro argumento principal 2 anterior, podemos ver que incluso en el más probable de la condición de Li($x$) a ser una mala aproximación de no hacerlo, lo que implica Li($x$) es una buena aproximación de $\pi(x)$

*1 Weisstein, Eric W. "Teorema De Los Números Primos." De MathWorld--Una Wolfram Los Recursos De La Web.

Answer 1

Teóricamente sería posible refutar la Hipótesis de Riemann estableciendo la existencia de una cadena "demasiado larga" de números compuestos.

Sin embargo, este 'demasiado largo' debe tomarse en un sentido relativo, que es relativo al tamaño de los elementos en la cadena. Y, en su ejemplo, los elementos son enormes en relación con la longitud de la cadena.

Answer 2

A grandes rasgos, de acuerdo con el Teorema de los números Primos, en la región de $x$, en promedio, un número entero de cada $\log x$ es primo. Ahora, a Stirling aproximación dice que $\log n!$ es aproximadamente el $n\log n$; por tanto, en la región de $n!$, es de esperar que uno de cada $n\log n$ números primos. Esto es menos de uno de cada $n$.

Así que para encontrar una carrera de compuestos enteros de longitud $n$ en la región de $n!$ no es nada especial; de hecho, podríamos esperar encontrar pistas de longitud $n \log n$ y más sin tener que buscar mucho.