¿Es posible encontrar un cubo perfecto como 111 ... 11?

Question

¿Podemos encontrar un cubo perfecto como$111...111$ (todos los dígitos son$1$), aparte del número$1$ en sí?

Es fácil probar que no puede haber nada como$111...11$ que sea un cuadrado perfecto además de$1$, pero ¿cómo hacer esto para un cubo perfecto? ¿Hay algunas nuevas técnicas para hacer esto?

Answer 1

(Versión editada)

Deje $a_n=\frac{10^n-1}9$.

Si $$a_n=k^3=\frac{10^n-1}9$$

A continuación, $$k^3-1=\frac{10^n-10}{9}$$ $$9(k-1)(k^2+k+1)=10(10^{n-1}-1)$$

Si, pues, $k$ existe y ambos lados son distinto de cero (es decir, $n\neq1$ $k\neq1$ ), lo que implica que,

Primera situación:

Cuando cualquiera de los factores $k^2+k+1$ o $k-1$ es divisible por 10,

$$k^2+k+1\equiv 0 \text{ (mod 10) or }k=10m+1$$

Aviso $\forall k\ge 0$, $k^2+k+1$ debe ser impar, por lo que la primera condición no se cumple.

Para la segunda condición, $k=10m+1$, si es verdadero, entonces,

$$9(10m+1)^3=10^n-10$$

Reorganizar y simplemente y obtenemos

$$100m^3+30m^2+3m=\frac{10^{n-1}-1}{9}$$

Así, por cada $n$, la premisa para obtener esta condición, es la correcta para cada $n-1$. Así que, finalmente, es equivalente a demostrar al $n=1$, existe un entero positivo(s) $m$ tal que $m(100m^2+30m+3)=0 $

Pero ninguna solución real a excepción de $m=0$

Al $m=0, k=1, n=1$

Segunda situación:

Sólo $k-1$ es divisible por 5. Pero, a continuación, $k^2+k+1$ es divisble por 2, lo cual es imposible.

Tercera situación:

Sólo $k-1$ es divisible por 2. Escribimos $k=2t+1$. Así que investigar si $k^2+k+1$ es divisible por 5.

Observar $$(2t+1)^2+(2t+1)+1=4t^2+6t+3$$ Y $$4t^2+6t+3\equiv t^2-t+2\pmod{5}$$

Esto es equivalente a afirmar que

$$t^2-t+2\equiv 0 \pmod{5}$$

Pero por la inspección, esto no es válido. (Por probar el caso 5q 5q+1, ... , 5q+4)

Por lo que esta situación es imposible.