Expectativa de detener el tiempo con un movimiento browniano

Question

¿Cómo considera la expectativa de un tiempo de parada con respecto a una moción browniana? La pregunta específica es:

$$ \ tau = \ inf \ {t \ ge 0: B (t) \ in \ {- a, b \} \} $$

Entiendo que el teorema de detención opcional nos dice que$E[M_\tau ] = E[M_0]$ pero ¿cómo lo uso para encontrar la expectativa?

Answer 1

Queremos usar el teorema de detención opcional en las dos martingales$(B_t)_{t\geq 0}$ y$(B_t^2-t)_{t\geq 0}$. Tenga en cuenta que$\tau<\infty$ as so$B_\tau \in \{-a,b\}$ como y, por lo tanto, por el teorema de detención opcional, tenemos $$ \begin{align*} 0&=E[B_0]=E[B_\tau]=-aP(B_\tau=-a)+bP(B_\tau=b)\\ &=-a(1-P(B_\tau=b))+bP(B_\tau=b) \end {align *} $$ que implica que $$ P (B_ \ tau = b ) = \ frac {a} {a + b}, \ quad P (B_ \ tau = -a) = \ frac {b} {a + b}. $$ Usando el teorema de detención opcional en$(B_t^2-t)_{t\geq 0}$, obtenemos que $$ 0 = E [B_0 ^ 2-0] = E [B_ \ tau ^ 2- \ tau] $$ y, por lo tanto, $$ E [\ tau ] = E [B_ \ tau ^ 2] = a ^ 2P (B_ \ tau = -a) + b ^ 2P (B_ \ tau = b) = ab. $$