¿Cuál es el sistema de base numérica más eficaz?

Question

Recuerdo haber leído en alguna parte que la base $e$ es el sistema de base más "eficiente" por su relación entre los caracteres posibles y la longitud del número. Por ejemplo, el binario es "ineficiente" porque cada número representado es muy largo cuando se representa con sólo dos dígitos (0 y 1). La base 10 también se considera "ineficiente" porque hay muchos números que recordar (0-9) aunque cada número representado es más corto que el binario. Aparentemente, la máxima "eficiencia" se da en base $e$ . ¿Cómo es posible? ¿Pueden existir bases irracionales? ¿Cómo se calcula numéricamente la "eficiencia" de una base?

Answer 1

En primer lugar, especifiquemos las fuentes. En Wikipedia :

La base $e$ es la opción más económica de radix $\beta > 1$ (Hayes 2001), donde la economía del radix se mide como el producto del radix y la longitud de la cadena de símbolos necesaria para expresar un rango de valores determinado.

Luego tenemos una larga artículo de Hayes en Científico americano que no tengo ganas de leer. El asunto se reduce a: la representación del número $n$ en la base $\beta$ (entero) o no ) toma $\approx \log n/\log \beta$ dígitos. Si su idea de "economía" es el producto de esta longitud con $\beta$ entonces, por supuesto, vas a minimizar $\beta /\log \beta$ y encontramos que el mínimo está en $\beta=e$ . Por ejemplo, con Wolfram Alpha, que puede trazar esta función y calcular su derivada .

Answer 2

Supongamos que hay V estados de información independientes, entonces podemos presentar V/N dígitos en base N .

La cantidad de información que podemos representar: $I=N^{V/N}$

El valor de N que hace que I sea el máximo es la base más "eficiente"

Tronco natural en ambos lados: lnI=(V/N)lnN

Toma la derivada: (lnI)'=V(1-lnN)/ $N^2$

Cuando lnI llega a un extremo, (lnI)'=0 es decir N=e

Toma la segunda derivada: (lnI)''=V(2lnN-3)/ $N^3$

Cuando N=e , (lnI)''= $-1/N^3$ , que es negativo

Por lo tanto, I alcanza su máximo cuando N=e .

Answer 3

Entiendo las bases que son números enteros, pero me cuesta ver cómo implementar un sistema fundado en la base $e$ . Pero, como $e=2.7182818$ (aproximadamente) entonces no se basaría $3$ ser una base más eficiente que la base $2$ ya que $3$ está más cerca de e que $2?$ ¿El mundo digital ha discapacitado a la humanidad? ¿No deberíamos utilizar ordenadores con una base $3$ cimiento en lugar de base $2?$ ¿Cuánto más pequeños serían nuestros "big data" si pudiéramos ser más eficientes en su almacenamiento?

Mi profesor de la universidad hizo este argumento en $1978$ . Ha demostrado que la base $e$ era, de hecho, más eficiente. Y, si nombramos los dígitos en base $2$ "bits" (dígitos binarios) y agruparlos en "bytes", entonces podríamos nombrar los dígitos en base $3$ "dígitos ternarios" o "tits" y agruparlos en "tytes". Además, señala que en lugar de trabajar con bits y bytes, prefiere hacerlo con tits y tytes. Hoy en día, es políticamente incorrecto, pero su argumento se me ha quedado grabado todos estos años.

Answer 4

El número del entero $n$ en base $b$ requiere aproximadamente $\frac{\log n}{\log b}$ dígitos. (Excepto en el caso de $n=1$ donde se requiere $n$ dígitos).

Sea $c(b)$ denotan el "coste" de representar cada base-. $b$ dígito. Entonces, el coste total de representar $n$ est $\frac{c(b)\log n}{\log b}$ . Independientemente de la elección concreta de $n$ la base "más eficiente" es la que minimiza la cantidad $f(b) = \frac{c(b)}{\log b}$ .

Una posible función de costes es $c(b) = b$ donde el coste es directamente proporcional a la base. Esto se aplica a cosas como ábacos con $b$ cuentas en cada posición, o Números egipcios (donde cada base- $b$ "dígito" se anota en formato unario). A continuación, $f(b) = \frac{b}{\log b}$ . Este valor se optimiza cuando $f'(b) = \frac{\log b - 1}{(\log b)^2} = 0$ o $\log b = 1$ o $b = e$ .

Sin embargo, diferentes funciones de costes producirán diferentes bases óptimas.

Por ejemplo, si $c(b) = \log b$ entonces $f(b) = 1$ y todas las bases son igual de eficientes.

Si $c(b) = \sqrt{b}$ se alcanza la optimalidad mediante $b \approx 7.39$ .

Si $c(b) = b^{0.4343}$ entonces $b \approx 10$ .

No estoy seguro de qué función de costes funciona mejor con la psicología humana. Pero probablemente no sea una simple función de potencia como la anterior. Yo esperaría que la función de "coste" fuera mucho menor para las bases enteras que para las fraccionarias. Y tendría en cuenta si las fracciones más comunes (1/2, 1/3, 1/4, etc.) tienen representaciones sencillas. Para más información, véase ¿Qué puede haber mejor que la base 10?