Demostrar que ${x^2+y^2=z^n}$ tiene una solución en $\mathbb{N}$ % todo $n$$\mathbb{N}$

Question

Soy resolverlo declarando que $$x^2 +y^2 =c^2$ $ representa un círculo. Y cuando $$c^2=z^n$$ then , it represents a system of concentric circles with radius varying as $z $ varies or $n$ varía. Por lo tanto, para todos los $n$ $\mathbb{N}$, $z^n$ representa el radio del círculo. Por lo tanto, $x^2 + y^2 =z^n$ tiene la solución en $\mathbb{N}$.

Esta prueba no es formal. Incluso pueden ser erróneo. Realmente necesito saber cómo demostrar formalmente utilizando teoremas de teoría de números. ¡Por favor, ayúdame! ¡Gracias! :)

Answer 1

Claramente $$ 5 ^ 2 +10 ^ 2 = 5 ^ 3, $$ y por lo tanto $$ (5 ^ {k+1}) ^ 2 + (10\cdot 5 ^ k) ^ 2 = 5 ^ {2 k +3}. $$ Por lo tanto, cada $n$ impar su reclamo tiene.

Entonces $$ 3 ^ 2 +4 ^ 2 = 5 ^ 2, $$ implica que $$ (3\cdot 5 ^ k) ^ 2 + (4\cdot 5 ^ k) ^ 2 = 5 ^ {2 +2 k}, $$ por lo tanto, cada $n$ incluso lleva a cabo su reclamación.

Answer 2

Nota

$$(2^k)^2+(2^k)^2=2\times 2^{2k}=2^{2k+1}$$

Por lo tanto es una solución para n impar siempre.

Answer 3

Por identidad de Lagrange: %#% $ de #% se deduce que los números que pueden representarse como una suma de dos cuadrados forman un facilitándole.

Puesto que cada primer de la forma $$ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 $ puede representarse como una suma de dos cuadrados, una suficiente condición para %#% $ #% ser soluble sobre los enteros es que $4k+1$ no tiene primeras divisores de la forma $$x^2+y^2 = z^n $.