Confundido sobre la solución al problema de la combinación

Question

Bueno por lo que he aquí la pregunta:

Jason fue dado mármoles de varios colores en $4$ cajas de: $3$ canicas rojas en el 1er cuadro, $4$ mármoles verdes en el 2do cuadro, $2$ amarillo canicas en el 3er cuadro y $1$ mármol negro en el último cuadro. ¿De cuántas maneras distintas puede Jason elegir al menos $1$ mármol de cualquiera de las cajas?

Para solucionar esto, he empleado un enfoque aprendido de un libro de texto, que es $2^{10} -1$, porque pensé que no se $2$ opciones para cada bola, recogidos o no, restando para el que no están seleccionados. Sin embargo, la respuesta es $4 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2$, su explicación se hay $4$ resultados de los tres bolas, que no son recogidas, $1$ recogido, $2$ recogido y así sucesivamente.

Esto me hace preguntarme cómo esta pregunta es diferente respecto a la otra pregunta, que es cuántas maneras existen para seleccionar las letras a,b,c,d y e, con la solución $2^5-1$. ¿Por qué no puedo utilizar el mismo enfoque a la pregunta anterior?

Answer 1

El campo de la combinatoria está lleno de muchas técnicas, cada una diseñada para un propósito específico. Es importante saber que la herramienta a utilizar en cada situación; si usted acaba de agarrar a uno que se ve a la mano es probable que reciba la respuesta equivocada.

La fórmula $2^n-1$ cuenta el número de subconjuntos no vacíos de un conjunto de tamaño $n$ objetos distintos. Por ejemplo, si $n=3$, y el conjunto es $\{A,B,C\}$, entonces estamos contando los siete siguientes eventos: $$\{A\}, \{B\}, \{C\}, \{A,B\}, \{A,C\}, \{B,C\}, \{A,B,C\}$$

Ya hay diez canicas en total en el primer problema, $2^{10}-1$ sería la respuesta si la pregunta era ¿de cuantas formas hay para elegir un subconjunto no vacío de 10 distinguibles de los mármoles. Sin embargo esa no es la cuestión; la cuestión enunciada hay cuadros y los colores que se deben tener en cuenta. Además, cualquiera de las dos canicas rojas parecen.

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Un truco para averiguar que combinatoria técnica a utilizar, es para escribir un par de ejemplos de los eventos que están tratando de contar. Esto debe de guía en decidir si los objetos son distinguibles o no, ordenados o no, y otras condiciones que se pueden aplicar.

Para el primer problema, uno de los resultados posibles es (1 rojo, 1 verde, 1 amarillo, 1 negro). Otro resultado es (2 rojo, 3 verde, 1 amarillo, 1 negro). Otro resultado es (1 rojos, 4 verdes, 2 amarillo, 1 negro). Otro resultado es (1 rojo, 0 verde 0 amarillas, 1 negro). El patrón común aquí es que hay cuatro números, cada uno de al menos 0, pero no todos cero. El primer número está en el rango de 0 a 3 años, el segundo en el rango de 0 a 4, la tercera en el rango de 0-2, y el último en el rango 0-1. Por lo tanto, hay $4\times 5\times 3\times 2=120$ acontecimientos nos están contando, pero uno de ellos es (0,0,0,0), tan sólo queremos 119.