6 votos

Encuentre todas las soluciones reales para$x$ en$2(2^x−1)x^2+(2^{x^2}−2)x=2^{x+1}−2$.

Encuentre todas las soluciones reales para$x$ en$2(2^x−1)x^2+(2^{x^2}−2)x=2^{x+1}−2$.

Empecé dividiendo$2(2^x- 1) x^2 + (2^{x^2}-2)x = 2^{x+1} -2$ entre$2$, y obtuve$(2^x-1)x^2 + (2^{x^2-1}-1)x = 2^x -1$. Intenté dividir entre$2^x-1$ en ambos lados, lo que me daría un cuadrático simple para resolver$x$, pero no sé cómo simplificar$\frac{(2^{x^2}-1)}{(2^x-1)}$. ¿Me estoy perdiendo un truco simple aquí, o estoy en un camino completamente equivocado para resolver esto?

4voto

K B Dave Puntos 641

Según la sugerencia de dxiv: por métodos elementales, la ecuación es equivalente a

$$f(x)\stackrel{\text{def}}{=}(2^x−1)(x^2-1)+(2^{x^2-1}−1)x=0$ $ Tenga en cuenta que, para cualquier$y$,$2^y-1$ y$y$, tiene el mismo signo (positivo, negativo o cero); escriba$\mathrm{sgn}\,y$ para el signo de$y$. Entonces

$$\mathrm{sgn}[(2^x-1)(x^2-1)]=\mathrm{sgn}(2^x-1)\mathrm{sgn}(x^2-1)=\mathrm{sgn}(x)\mathrm{sgn}(x^2-1)$ $ y asimismo$$\mathrm{sgn}[(2^{x^2-1}-1)x]=\mathrm{sgn}(x^2-1)\mathrm{sgn}(x)$ $

Ahora, si$\mathrm{sgn}(y)=\mathrm{sgn}(z)$, entonces$\mathrm{sgn}(y+z)=\mathrm{sgn}(y)=\mathrm{sgn}(z)$. En consecuencia,$$\mathrm{sgn}[f(x)]=\mathrm{sgn}(x)\mathrm{sgn}(x^2-1)=\mathrm{sgn}(x)\mathrm{sgn}(x+1)\mathrm{sgn}(x-1)\text{.}$ $ Por la propiedad del producto cero y el hecho de que$\mathrm{sgn}(y)=0$ iff$y=0$, encontramos que$f(x)=0$ iff$x\in\{-1,0,1\}$.

3voto

Bob Hanlon Puntos 216

Usando Mathematica

 eq = 2 (2^x - 1) x^2 + (2^(x^2) - 2) x == 2^(x + 1) - 2;

sol = Solve[eq, x, Reals]

(* {{x -> -1}, {x -> 0}, {x -> 1}} *)
 

Verificando las soluciones

 And @@ (eq /. sol)

(* True *)
 

Mostrando las soluciones en una trama

 Plot[{2 (2^x - 1) x^2 + (2^(x^2) - 2) x, 2^(x + 1) - 2},
 {x, -2, 2}, PlotLegends -> Placed["Expressions", {.22, .75}],
 Epilog -> {Red, AbsolutePointSize[5],
   Point[{x, 2^(x + 1) - 2} /. sol]}]
 

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-2voto

Yanmath Puntos 11

$\begin{align*} 2\left (2^{x}-1 \right )x^{2}+\left(2^{x^{2}}-2\right)x&=2^{x}.2-2\\ 2\left(2^{x}-1\right)x^{2}-\left(2^{x^{2}}-2\right)x&=2(2^{x}-1) \end{align*}$

Deje$2^{x}-1=a$ y$2^{x^{2}}-2=b$ y la ecuación se convierta en:$2ax^{2} + bx=2a$ o$2ax^{2}+bx-2a=0$. Es una ecuación cuadrática. La ecuación cuadrática tiene solución real si y solo si$b^{2}-4ac>0$.

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