Permita que$R$ sea un dominio euclidiano. Para los ideales$I, J\subseteq R$, demuestre que si$IJ = I ∩ J$, entonces$I + J = R$

Question

Permita que$R$ sea un dominio euclidiano. Para ideales$I, J\subseteq R$, defina$IJ$ para que sea el conjunto $$ \ {a_1b_1 + \ dots + a_nb_n: n∈N; a_i∈I; b_j∈J \}. $$

Demuestre que si$IJ = I ∩ J$, luego$I + J = R$.

Intento:

$d(I) \le d(IJ) = d(I ∩ J)$
$d(J) \le d(IJ) = d(I ∩ J)$

Traté de obtener una relación igual entre$I + J$ y$R$, pero me quedé atrapado aquí.

Answer 1

Teorema: Si $R$ es un Dominio Euclídeo y $I, J$ ideales en $R$, $IJ = I \cap J$ significa que $I + J = (1)$.

Prueba: Desde $R$ es un Dominio Euclídeo y $I, J$ son ideales en $R$, $I = (x)$ $J = (y)$ algunos $x, y \in R$ (desde que ED $\implies$ PID).

Tenga en cuenta que \begin{align*} I + J &= \big( \gcd(x, y) \big)\\ IJ &= (xy) \\ I \cap J &= \big(\operatorname{lcm}(x, y) \big) \end{align*}

Al ser un Dominio Euclídeo nos garantiza la existencia de $\gcd$$\operatorname{lcm}$, lo que vamos a denotar por $g$, $l$ respectivamente, a partir de ahora.

Supongamos $IJ = I \cap J$, $(xy) = (l)$ e lo $l = xy \cdot w$ algunos $w \in R$.

Pero por la propiedad de $l, g$, $lg = xy$ (este es uno de los grandes propiedades de cómo la $\gcd$ $\operatorname{lcm}$ están conectados), lo que significa $lg = xy = xywg$.

Desde $R$ es un Dominio Euclídeo, es una parte Integral de Dominio, por lo que podemos cancelar y conseguir $wg = 1$, por lo tanto $g$ es una unidad. Por lo tanto $I + J = (g) = (1)$.

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Lo contrario también es, pero podemos aflojar la hipótesis de un poco de Euclídea de Dominio a solo Anillo Conmutativo con identidad:

Teorema: Si $R$ es un Anillo Conmutativo con identidad y $I, J$ ideales en $R$,$I + J = (1)$$IJ = I \cap J$.

Prueba: se Observa que el $IJ \subseteq I \cap J$ siempre, por lo que es suficiente para mostrar que $I \cap J \subseteq IJ$ con la hipótesis.

Desde $I + J = (1)$, $i \in I, j \in J$ tal que $i + j = 1$. Deje $x \in I \cap J$, $$x = x \cdot 1 = x \cdot (i + j) = ix + xj \in IJ = \bigg\{ \sum_i x_i, y_i : x_i \in I, y_i \in J\bigg\}$$ y podemos concluir que $IJ = I \cap J$.