Demostrar que Y tiene una distribución uniforme si Y=F(X) donde F es el cdf de X

Question

Que X sea una variable aleatoria continua y estrictamente creciente c.d.f. función F (para que el quantile de la función F ^ −1 es bien delimitado). Definir una nueva variable aleatoria Y por Y = f (x). Demostrar que Y tiene una distribución uniforme en el intervalo [0, 1]

Mi pensamiento inicial es que Y es distribuido en el intervalo [0,1], porque el rango de F es en ese intervalo. Pero ¿cómo demuestras que es uniforme?

Answer 1

Sea $F_Y(y)$ la FCD de $Y = F(X)$. Entonces, para cualquier $y \in [0,1]$ tenemos:

$F_Y(y) = \Pr[Y \le y] = \Pr[F(X) \le y] = \Pr[X \le F^{-1}(y)] = F(F^{-1}(y)) = y$.

¿Qué distribución tiene este CDF?

Answer 2

$$ Prob(Y\leq x)=P(F(X)\leq x)=P(X\leq F^{-1}(x))=x \ $ $ La última igualdad proviene de la definición de la función del quantile.