¿Dónde está$\operatorname{Log}(z^2-1)$ Analytic?

Question

$\newcommand{\Log}{\operatorname{Log}}$

La cuestión se erige como

Donde es la función de $\Log(z^2-1)$ analítica

donde $\Log$ representa el principal complejo de logaritmo. Mi entendimiento es que

El dominio de analiticidad de cualquier función de $f(z) = \Log\left[g(z)\right]$ donde $g(z)$ es analítica, será el conjunto de puntos de $z$ tal que $g(z)$ está definido y $g(z)$ no pertenece al conjunto de $\left \{z = x + iy\ |\ −\infty < x \leq 0, y = 0\right \}$.

Siguiendo esta definición no implica que la función de $f(z)$ es analítica en todas partes en el plano complejo excepto en los puntos donde la $-\infty<\Re(z^2-1)\leq0$$\Im(z^2-1)=0$. Así obtengo $x^2-y^2-1\leq0$$2xy=0$. Gráficamente debe ser analítico en todas partes, excepto en el verdadero eje x, el imaginario eje de las y y en la región del interior de la hipérbola $x^2-y^2=1$. Las respuestas a decir

En todas partes, excepto $\{z\in\mathbb{R}:|z|\leq1\}\bigcup\{iy:y\in\mathbb{R}\}$.

Por favor, ayudar a corregir mi entendimiento. Gracias de avanzada.

Answer 1

Si$2xy=0$, entonces o bien (a) $x=0$, en cuyo caso la otra desigualdad se convierte en$-y^2-1\leq 0$, que es satisfecho por todos$y\in\mathbb{R}$, o (b) $y=0$, donde la otra desigualdad se convierte en$x^2 - 1 \leq 0$ que se cumple por todos$|x| \leq 1$.

Estas desigualdades deben ser satisfechas juntas. Está describiendo la unión de los conjuntos de los que están satisfechos individualmente, donde lo que realmente quiere es la intersección.

Answer 2

El código de Maple$$expression := ln(z^2-1): FunctionAdvisor(branch_cuts, expression, plot = `2D`) $ $ produce un diagrama

y $$ [ln (z ^ 2-1), Re (z) = 0, E (-1 <z, z <1)],$$ where $ z <1$ means $ z$ is real which satisfies $ z <1 $.