< h2> Límites Iterados < /h2>

Question

Si $$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L$$ y si los límites unidimensionales - $$ \lim_{x \to a} f(x,y)$$ y $$ \lim_{y \to b} f(x,y)$$ ambos existen, entonces demuestra que -
$$ \lim_{x \to a}\left[\lim_{y \to b} f(x,y)\right] = \lim_{y \to b}\left[\lim_{x \to a} f(x,y)\right] = L$$

Answer 1

Por supuesto, al cambiar $f$ por $g(x, y) = f(a + x, b + y) - L$, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $a = b = 0$ y que $L = 0.

Sea $\epsilon>0$. Existe $\lambda$ tal que para cualquier $x, y$ que satisfagan $|x|, |y| < \lambda$, tenemos $|f(x, y)| < \epsilon.

Para cada $x$ existe un $y_x$ tal que $|f(x, y_x) - \lim_{y \rightarrow 0} f(x, y)| < \epsilon$ (esto se sigue simplemente de la existencia del último límite) (esto realmente se cumple para todos los $y_x$ suficientemente pequeños, por lo que podemos decir $|y_x| < \lambda).

Pero entonces, para $|x| < \lambda$, $|\lim_{y \rightarrow 0} f(x, y)| < \epsilon + |f(x, y_x)| < 2\epsilon.

Esto implica que $\lim_{x \rightarrow 0} \lim_{y \rightarrow 0} f(x, y) = 0.

Nótese que nunca usamos $\lim_{x \rightarrow 0} f(x, y)$, sino solo $\lim_{y \rightarrow 0} f(x, y). Al utilizar el segundo límite en lugar del primero (esencialmente intercambiando $x$ e $y$ en el razonamiento), obtenemos que:

$\lim_{y \rightarrow 0} \lim_{x \rightarrow 0} f(x, y) = 0

Como se deseaba.

Answer 2

Contraejemplo: $f(x,y)=r^2\theta$ donde $r$ y $\theta$ son las coordenadas polares. Este último se encuentra en $[0,2\pi)$. Entonces $f$ converge a cero de manera continua en el origen, pero solo uno de los límites iterados existe en un vecindario del cero.