Note primero que la expansión de la serie sólo tiene sentido cuando se $\alpha$ está delimitado por $1$. Esto es debido a que el radio de convergencia de $\log(1+x)$$1$. En esta respuesta, voy a asumir un poco más fuerte que en la condición de $\alpha$:
La hipótesis 1. $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \int_{0}^{\pi}|\alpha(p)|^k \, dp < \infty$.
Esta suposición es de hecho una condición más fuerte que implica el $\|\alpha\|_{L^{\infty}} \leq 1$. Esto también nos permite intercambiar $t\to\infty$ límite y la infinita suma.
Ahora permítanme dar dos direcciones diferentes.
1st dirección. Como hemos visto en los comentarios, no todos los $\epsilon$ $f_{\alpha}(t)$ convergen como $t\to\infty$, incluso cuando se $\epsilon$ se supone que ser continua. Lo que nos lleva a imponer algunas hipótesis, y el siguiente resulta ser suficiente:
La hipótesis 2. $\epsilon$ es medible y $\omega(y) = \operatorname{Leb}(\{ p \in [0, \pi] : \epsilon(p) \leq y \})$ es absolutamente continua.
Ahora definir
$$ F_k(y) = \int_{0}^{\pi} \alpha(p)^k \mathbf{1}_{\{\epsilon(p) \leq y \}} \, dp. $$
Entonces nos encontramos con que $|F_k(y') - F_k(y)| \leq \|\alpha\|_{L^{\infty}}^k |\omega(y') - \omega(y)|$ e lo $F_k$ es absolutamente continua. A partir de esto, no es difícil comprobar que
$$ \int_{0}^{\pi} \alpha(p)^k \sin^{2k}(\epsilon(p)t) \, dp
= \int_{-\infty}^{\infty} F_k'(y) \sin^{2k}(yt) \, dy. $$
(Esto es esencialmente 'acondicionado en los valores de $\epsilon$'.) A continuación, mediante la ampliación de
\begin{align*}
\sin^{2k}(yt)
&= \left( \frac{e^{iyt} - e^{-iyt}}{2i} \right)^{2k} \\
&= \frac{1}{4^k} \sum_{j=0}^{2k} \binom{2k}{j} (-1)^{k-j}e^{(2k-2j)iyt} \\
&= \frac{1}{4^k}\binom{2k}{k} + \frac{2}{4^k} \sum_{j=0}^{k-1} \binom{2k}{j} (-1)^{k-j} \cos((2k-2j)yt)
\end{align*}
y la aplicación de la de Riemann-Lebesgue lema, obtenemos
\begin{align*}
\lim_{t\to\infty} \int_{0}^{\pi} \alpha(p)^k \sin^{2k}(\epsilon(p)t) \, dp
&= \lim_{t\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty} F_k'(y) \sin^{2k}(yt) \, dy \\
&= \frac{1}{4^k}\binom{2k}{k} \int_{-\infty}^{\infty} F_k'(y) \, dy \\
&= \frac{1}{4^k}\binom{2k}{k} \int_{0}^{\pi} \alpha(p)^k \, dp.
\end{align*}
Ahora, por el teorema de convergencia dominada, podemos pasar el límite interior de la suma y por lo tanto
$$ \lim_{t\to\infty}f_{\alpha}(t)
= \frac{1}{2\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k \cdot 4^k}\binom{2k}{k} \int_{0}^{\pi} \alpha(p)^k \, dp. $$
Observación. Dado que el objetivo último es investigar el comportamiento limitante o $f_{\alpha}(t)$, supongo que podemos debilitar la Hipótesis 1 y aún así obtener un resultado análogo:
Conjetura. Si $\int_{0}^{\pi} \left|\log(1-\alpha(p))\right| \, dp < \infty$ y la Hipótesis 2 se mantiene, entonces $f_{\alpha}(t)$ converge como $t\to\infty$ y
$$\lim_{t\to\infty} f_{\alpha}(t) = -\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \log \left( \frac{1 + \sqrt{1-\alpha(p)}}{2} \right) \, dp $$
2nd dirección. Bajo la Hipótesis 1, se puede demostrar que la Cesàro-media (tiempo promedio de media) de $f_{\alpha}$ tiene los siguientes límites:
$$ \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f_{\alpha}(t) \, dt
= \frac{1}{2\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k \cdot 4^k}\binom{2k}{k} \int_{0}^{\pi} \alpha(p)^k \mathbf{1}_{\{\epsilon(p) \neq 0 \}} \, dp. $$
En efecto, por el teorema de convergencia dominada podemos pasar el tiempo promedio en el límite interior de la suma para obtener
\begin{align*}
&\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f_{\alpha}(t) \, dt \\
&= \frac{1}{2\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \int_{0}^{\pi} \alpha(p)^k \left( \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \sin^{2k}(\epsilon(p)t) \, dt \right) \mathbf{1}_{\{\epsilon(p) \neq 0 \}} \, dp \\
&= \frac{1}{2\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \int_{0}^{\pi} \alpha(p)^k \left( \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T|\epsilon(p)|} \int_{0}^{T|\epsilon(p)|} \sin^{2k}(t) \, dt \right) \mathbf{1}_{\{\epsilon(p) \neq 0 \}} \, dp
\end{align*}
El uso de la expansión de la $\sin^{2k}(t)$ anterior, podemos concluir que
$$ \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \sin^{2k}(t) \, dt
= \frac{1}{4^k}\binom{2k}{k} $$
y de ahí el deseo de identidad de la siguiente manera.
