Construir un triángulo dado un lado, la altura y el inradio

Question

Yo he sido rascándome la cabeza con este problema: "Dibujar un triángulo dado uno de sus lados, la altura de ese lado y el inradio."

Ahora, puedo calcular el área y obtener el semiperimetro. De que puedo encontrar la suma de los otros dos lados (digamos, $b+c$). Pero no puedo encontrar ni $b$ ni $c$. Lo que intento siempre termino con fórmulas complicadas que en ninguna parte.

¿Alguna idea?

¡Gracias!

Answer 1

Los siguientes usos llanura de geometría de coordenadas.

Deje que los secundarios conocidos se $a$, y deje a la altura del ser $h$. Como usted señala, uno puede encontrar (y construir) la suma de $k$ de las longitudes de los otros dos lados.

Vamos a un extremo de la conocida lado se $(-a/2,0)$, y el otro extremo se $(a/2,0)$. Que las coordenadas del tercer vértice del triángulo $(x,h)$.

Podemos utilizar la habitual fórmula de la distancia para encontrar la suma de las distancias de $(x,h)$ a los puntos de $(-a/2,0)$$(a/2,0)$. Esto da lugar a la ecuación $$\sqrt{(x+a/2)^2+h^2}+\sqrt{(x-a/2)^2+h^2}=k.\tag{$1$}$$ Ahora viene un lindo pequeño truco. Multiplique la parte superior y (virtual) de la parte inferior de la mano izquierda de $(1)$$\sqrt{(x+a/2)^2+h^2}-\sqrt{(x-a/2)^2+h^2}$. Llegamos después de la simplificación $$\frac{2ax}{\sqrt{(x+a/2)^2+h^2}-\sqrt{(x-a/2)^2+h^2}}=k.$$ Voltear a ambos lados a, y para simplificar un poco. Tenemos $$\sqrt{(x+a/2)^2+h^2}-\sqrt{(x-a/2)^2+h^2}=\frac{2ax}{k}.\tag{$2$}$$ "Agregar" Ecuaciones $(1)$$(2)$. Tenemos $$2\sqrt{(x+a/2)^2+h^2}=k+\frac{2ax}{k}.$$ Ahora es seguro cuadrado ambos lados y no obtener un lío. Obtenemos una ecuación de segundo grado en $x$. Esto puede resolverse algebraicamente como de costumbre, o por compás y una regla.