Yo soy la auto estudiar álgebra y me pregunto si en la siguiente prueba de obras.
Por el rango que queremos decir el supremum de cardinalidades de los conjuntos linealmente independientes. Ahora bien, esto es equivalente a la supremum de cardinalidades de máxima linealmente independientes, establece que es igual a la cardinalidad de cualquier conjunto independiente maximal como dos maximal independiente conjuntos tienen la misma cardinalidad. Aquí está mi argumento:
Me dijo que $B=\{a_1,...a_n\}$ ser un subconjunto linealmente independiente maximal de M de cardinalidad rango(M). (Siempre podemos elegir un B cuya cardinalidad es el rango de M). A continuación, considere la posibilidad de pasar al campo de fracciones F. B es fácilmente visto como un conjunto linealmente independiente de más de F por la eliminación de denominadores como R es una parte integral de dominio, a Saber: si $(c_1/d_1)a_1 + ... (c_n/d_n) a_n=0$ hemos multiplicando por $d_1 d_2... d_n$ que $(c_1 d_2... d_n) a_1 + ... + (c_n d_1...d_{n-1}) a_n =0$, pero ahora estos coeficientes están en R y, por tanto, todos ellos deben igualdad de $0$ por lineal independece sobre R. Pero R es la integral de dominio y el $d_i$ son distintos de cero de ser denominadores, por lo que cada $c_i=0$ y por lo tanto vemos que B es un subconjunto independiente de más de F así. Ahora M es finitely generado más de R, por lo que mediante la incorporación de M en su cociente de campo, M es también finitely generado más de F obviamente. Ahora bien, si este conjunto finito que genera M tiene cardinalidad k, entonces la base de la M como un espacio vectorial sobre F tiene cardinalidad menor o igual a k ser un mínimo de expansión conjunto. Finalmente B ser independiente subconjunto de un espacio vectorial M tiene cardinalidad menor que la cardinalidad de la base que tiene cardinalidad menor que k. Por lo tanto B tiene cardinalidad menor que k. Pero B es linealmente independiente maximal conjunto, por lo tanto $rank(M)\leq k$.
Es mi prueba correcta? Me doy cuenta de que he asumido que el rango es finito, pero suponiendo que es finito, es correcta la prueba? Gracias de antemano.
Edit: Oh, espera, supongo que en realidad no puede hacer esto como M no es gratis.. yo estaba pensando en M es isomorfo a R^d para algunos d de ahí pasar a F^d pero M no es necesariamente libre.