Anillos que son generados como un álgebra sobre un campo por una cantidad arbitraria de elementos algebraicos

Question

En un curso de introducción en el álgebra, que aprender, que si usted toma un campo $F$ y un elemento $x$, que es algebraico sobre $F$, entonces la más pequeña generado Anillo de $F$$x$, la mayoría llamado $F[x]$ es ya un campo. Por inducción se puede ver que esto también es cierto para un número finito de elementos $x_1, x_2,\cdots ,x_n$, Pero lo que si quiero adjunto una cantidad arbitraria de elementos de a $F$. Es todavía verdad?
Si sí, ¿demostrarlo por inducción transfinita, o es que hay un más obvio argumento de que me estoy perdiendo?

Answer 1

Sea un campo que contiene $\Omega$ $F$ y que $S \subseteq \Omega$ tal que todos los elementos de $S$ algebraicos $F$. Que $K=F[S]$, el anillo más pequeño de % que contiene $\Omega$% #% y $F$. Tomar un cero $S$. Entonces $\alpha \in K$ es un polinomio en finito muchos elementos $\alpha$. Esto significa que el $s_1, s_2, \dots, s_n \in S$, que es un campo porque el $\alpha \in F[s_1, s_2, \dots, s_n]$ son algebraicas. Así, $s_i$ tiene una inversa en $\alpha$.

Answer 2

Si $L$ es un campo, $K \subseteq L$ un subcampo y $(x_i)_{i \in I}$ una familia de elementos de $L$ cuales son algebric $K$, luego tenemos $$K[x_i \mid i \in I] = \mathrm{span}_K \{ x_{i_1} \dotsm x_{i_n} \mediados n \in \mathbb{N}, i_1, \dotsc, i_n \I\} = \bigcup_{\substack{J \subseteq I \\ |J| < \infty}} K[x_j \mediados de los j \J].$$ Por lo $K[x_i \mid i \in I]$ es la unión de los subcampos de $L$, de tal forma que cada dos subcampos están contenidas en el otro. Debido a que cada subconjunto finito de $K[x_i \mid i \in I]$ se encuentra es un subcampo de la $L$ se sigue que $K[x_i \mid i \in I]$ sí es también un campo.

Answer 3

Cada elemento de #% de #% de % de una $a$-álgebra $F$ generado por un conjunto infinito de elementos algebraicos $A$ ya está en el $x_i$-álgebra $F$ generado por un subconjunto finito de la $A'$; Esto es lo que significa la $x_i$-álgebra generada por un conjunto infinito. Pero sabes que $F$ es un campo, por lo que si $A'$, tiene una inversa $a\neq0$ y a fortiori en $A'$.