En un curso de introducción en el álgebra, que aprender, que si usted toma un campo $F$ y un elemento $x$, que es algebraico sobre $F $, entonces la más pequeña generado Anillo de $F$$x$, la mayoría llamado $F[x]$ es ya un campo. Por inducción se puede ver que esto también es cierto para un número finito de elementos $x_1, x_2,\cdots ,x_n$, Pero lo que si quiero adjunto una cantidad arbitraria de elementos de a $F$. Es todavía verdad?
Si sí, ¿demostrarlo por inducción transfinita, o es que hay un más obvio argumento de que me estoy perdiendo?
Respuestas
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Sea un campo que contiene $\Omega$ $F$ y que $S \subseteq \Omega$ tal que todos los elementos de $S$ algebraicos $F$. Que $K=F[S]$, el anillo más pequeño de % que contiene $\Omega$% #% y $F$. Tomar un cero $S$. Entonces $\alpha \in K$ es un polinomio en finito muchos elementos $\alpha$. Esto significa que el $s_1, s_2, \dots, s_n \in S$, que es un campo porque el $\alpha \in F[s_1, s_2, \dots, s_n]$ son algebraicas. Así, $s_i$ tiene una inversa en $\alpha$.
Jendrik Stelzner
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Si $L$ es un campo, $K \subseteq L$ un subcampo y $(x_i)_{i \in I}$ una familia de elementos de $L$ cuales son algebric $K$, luego tenemos $$ K[x_i \mid i \in I] = \mathrm{span}_K \{ x_{i_1} \dotsm x_{i_n} \mediados n \in \mathbb{N}, i_1, \dotsc, i_n \I\} = \bigcup_{\substack{J \subseteq I \\ |J| < \infty}} K[x_j \mediados de los j \J]. $$ Por lo $K[x_i \mid i \in I]$ es la unión de los subcampos de $L$, de tal forma que cada dos subcampos están contenidas en el otro. Debido a que cada subconjunto finito de $K[x_i \mid i \in I]$ se encuentra es un subcampo de la $L$ se sigue que $K[x_i \mid i \in I]$ sí es también un campo.
GmonC
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Cada elemento de #% de #% de % de una $a$-álgebra $F$ generado por un conjunto infinito de elementos algebraicos $A$ ya está en el $x_i$-álgebra $F$ generado por un subconjunto finito de la $A'$; Esto es lo que significa la $x_i$-álgebra generada por un conjunto infinito. Pero sabes que $F$ es un campo, por lo que si $A'$, tiene una inversa $a\neq0$ y a fortiori en $A'$.
